Berechenbarkeit, Erreichbarkeit, Erzeugbarkeit

Zusammenfassung

In diesem Abschnitt untersuchen wir einige Varianten des Erreichbarkeitsund des Lebendigkeitsproblems und vergleichen sie bezüglich ihrer Komplexität. Dies ist deshalb von Interesse, weil Petri-Netze ein ganz natürliches mathematisches Objekt darstellen, zu dem viele Fragestellungen gerade die Grenze zwischen entscheidbar und unentscheidbar berühren. So haben wir bereits das Petri-Netz Erreichbarkeitsproblem als entscheidbar erkannt. Der hier vorgestellte Algorithmus ist aber nicht primitiv rekursiv, wie wir noch zeigen werden. Jeder Algorithmus, der das Erreichbarkeitsproblem löst, muss mindestens exponentiellen Speicherplatz benutzen. Eine kanonische Variante des Erreichbarkeitsproblems, nämlich die Frage, ob zwei Petri-Netze gleiche Erreichbarkeitsmengen besitzen, wird hingegen als unentscheidbar nachgewiesen werden. Außerdem stellen wir einige „endliche“ Probleme vor, die als endliche Probleme natürlich entscheidbar sind, aber nicht mit primitiv-rekursiven Mitteln. Insbesondere zeigen wir, dass der Aufwand, solche Probleme zu lösen, stärker wächst als jede primitiv-rekursive Funktion. Solche Probleme sind zwar auch in der Theorie der Berechenbarkeit bekannt, aber meist extrem künstlich. Hier findet man in der Petri-Netz-Theorie aber „natürliche“ Fragestellungen nicht primitiv-rekursiver Komplexität.