Festkörper im äußeren Magnetfeld

Zusammenfassung

Ein magnetisches Feld koppelt — zumindest in der nicht-relativistischen Quantenmechanik— auf zwei verschiedene Arten an Materie und geladene Teilchen (Elektronen) in der Materie, nämlich einmal —wie jedes elektromagnetische Feld—über die Minimal-Ankopplung (Standard-Ersetzung)

EquationSource% MathType!MTEF!2!1!+- % feaagCart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqr1ngB % PrgifHhDYfgasaacH8srps0lbbf9q8WrFfeuY-Hhbbf9v8qqaqFr0x % c9pk0xbba9q8WqFfea0-yr0RYxir-Jbba9q8aq0-yq-He9q8qqQ8fr % Fve9Fve9Ff0dmeaabaqaciGacaGaaeqabaWaaeaaeaaakeaaceWGWb % GbaSaacqGHsgIRceWGWbGbaSaacqGHsisldaWcaaqaaiaadwgaaeaa %caWGJbaaaiqadgeagaWcaiaacIcaceWGYbGbaSaacaGGPaaaaa!41AD!]]</EquationSource><EquationSource Format="TEX"><![CDATA[$$vec p \to \vec p - \frac{e}{c}\vec A(\vec r)$$

wobei EquationSource % MathType!MTEF!2!1!+- % feaagCart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqr1ngB % PrgifHhDYfgasaacH8srps0lbbf9q8WrFfeuY-Hhbbf9v8qqaqFr0x % c9pk0xbba9q8WqFfea0-yr0RYxir-Jbba9q8aq0-yq-He9q8qqQ8fr % Fve9Fve9Ff0dmeaabaqaciGacaGaaeqabaWaaeaaeaaakeaaceWGbb % GbaSaaaaa!3881!]]</EquationSource><EquationSource Format="TEX"><![CDATA[$$\vec A$$ das Vektorpotential ist, und zum anderen über den Spin, mit dem ja ein magnetisches Moment verbunden ist, über einen Zusatzterm zum Hamilton-Operator:

EquationSource % MathType!MTEF!2!1!+- % feaagCart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqr1ngB % PrgifHhDYfgasaacH8srps0lbbf9q8WrFfeuY-Hhbbf9v8qqaqFr0x % c9pk0xbba9q8WqFfea0-yr0RYxir-Jbba9q8aq0-yq-He9q8qqQ8fr % Fve9Fve9Ff0dmeaabaqaciGacaGaaeqabaWaaeaaeaaakeaacaWGNb % GaeqiVd02aaSbaaSqaaiaadkeaaeqaaOGafq4WdmNbaSaacqGHflY1 % ceWGcbGbaSaacqGH9aqpcqGHsisldaWcaaqaaiaadwgacqWIpecAae % aacaWGTbGaam4yaaaaceWGtbGbaSaacqGHflY1ceWGcbGbaSaaaaa!4A3D!]]</EquationSource><EquationSource Format="TEX"><![CDATA[$$g{\mu _B}\vec \sigma \cdot \vec B = - \frac{{e\hbar }}{{mc}}\vec S \cdot \vec B$$

wobei

EquationSource % MathType!MTEF!2!1!+- % feaagCart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqr1ngB % PrgifHhDYfgasaacH8srps0lbbf9q8WrFfeuY-Hhbbf9v8qqaqFr0x % c9pk0xbba9q8WqFfea0-yr0RYxir-Jbba9q8aq0-yq-He9q8qqQ8fr % Fve9Fve9Ff0dmeaabaqaciGacaGaaeqabaWaaeaaeaaakeaacaWGNb % Gaeyypa0JaaGOmaiaac6cacaaIWaGaaGimaiaaikdacqGHijYUcaaI % Yaaaaa!3FA6!]]</EquationSource><EquationSource Format="TEX"><![CDATA[$$g = 2.002 \approx 2$$

der elektronische g-Faktor ist (für das freie Elektron) und

EquationSource % MathType!MTEF!2!1!+- % feaagCart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqr1ngB % PrgifHhDYfgasaacH8srps0lbbf9q8WrFfeuY-Hhbbf9v8qqaqFr0x % c9pk0xbba9q8WqFfea0-yr0RYxir-Jbba9q8aq0-yq-He9q8qqQ8fr % Fve9Fve9Ff0dmeaabaqaciGacaGaaeqabaWaaeaaeaaakeaacqaH8o % qBdaWgaaWcbaGaamOqaaqabaGccqGH9aqpdaWcaaqaaiaacYhacaWG % LbGaaiiFaiabl+qiObqaaiaaikdacaWGTbGaam4yaaaacqGH+aGpca % aIWaaaaa!43DD!]]</EquationSource><EquationSource Format="TEX"><![CDATA[$${\mu _B} = \frac{{|e|\hbar }}{{2mc}} >0$$

das Bohrsche Magneton ¹ (e,m freie Elektronen-Ladung bzw. -Masse). EquationSource% MathType!MTEF!2!1!+- % feaagCart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqr1ngB % PrgifHhDYfgasaacH8srps0lbbf9q8WrFfeuY-Hhbbf9v8qqaqFr0x % c9pk0xbba9q8WqFfea0-yr0RYxir-Jbba9q8aq0-yq-He9q8qqQ8fr % Fve9Fve9Ff0dmeaabaqaciGacaGaaeqabaWaaeaaeaaakeaacuaHdp % WCgaWcaaaa!397E!]]</EquationSource><EquationSource Format="TEX"><![CDATA[$$\vec \sigma$$ bezeichnet den (dimensionslosen) Spin des Elektrons, also den Vektor mit den drei Paulischen Spinmatrizen als Komponenten. Aus Gründen, die gleich unten klar werden, bezeichnet man in der Festkörperphysik die Ankopplung des Magnetfeldes über die Minimal-Kopplung auch manchmal als diamagnetische Kopplung und die Kopplung an den Spin als Zeeman-Term ². Der erste Beitrag liefert nämlich, wie gleich gezeigt werden soll, den Diamagnetismus. Der 2. Ankopplungs-Term ist hingegen für den Paramagnetismus verantwortlich. Der Hamilton-Operator für ein Elektron im Magnetfeld EquationSource% MathType!MTEF!2!1!+- % feaagCart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqr1ngB % PrgifHhDYfgasaacH8srps0lbbf9q8WrFfeuY-Hhbbf9v8qqaqFr0x % c9pk0xbba9q8WqFfea0-yr0RYxir-Jbba9q8aq0-yq-He9q8qqQ8fr % Fve9Fve9Ff0dmeaabaqaciGacaGaaeqabaWaaeaaeaaakeaaceWGcb % GbaSaaaaa!3882!]]</EquationSource><EquationSource Format="TEX"><![CDATA[$$\vec B$$ lautet jetzt also:

EquationSource % MathType!MTEF!2!1!+- % feaagCart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqr1ngB % PrgifHhDYfgasaacH8srps0lbbf9q8WrFfeuY-Hhbbf9v8qqaqFr0x % c9pk0xbba9q8WqFfea0-yr0RYxir-Jbba9q8aq0-yq-He9q8qqQ8fr % Fve9Fve9Ff0dmeaabaqaciGacaGaaeqabaWaaeaaeaaakeaacaWGib % Gaeyypa0ZaaSaaaeaacaGGOaGabmiCayaalaGaeyOeI0YaaSaaaeaa % caWGLbaabaGaam4yaaaaceWGbbGbaSaacaGGPaWaaWbaaSqabeaaca % aIYaaaaaGcbaGaaGOmaiaad2gaaaGaeyOeI0YaaSaaaeaacaWGLbGa % eS4dHGgabaGaaGOmaiaad2gacaWGJbaaaiqbeo8aZzaalaGaeyyXIC % TabmOqayaalaGaey4kaSYaaSaaaeaacaWGLbGaeS4dHG2aaWbaaSqa % beaacaaIYaaaaaGcbaGaaGinaiaad2gadaahaaWcbeqaaiaaikdaaa % GccaWGJbWaaWbaaSqabeaacaaIYaaaaaaakmaalaaabaGaaGymaaqa % aiaadkhaaaWaaSaaaeaacaWGKbGaamOvaaqaaiaadsgacaWGYbaaai % qadYgagaWcaiabgwSixlqbeo8aZzaalaGaey4kaSIaamOvaiaacIca % ceWGYbGbaSaacaGGPaaaaa!63FF!]]</EquationSource><EquationSource Format="TEX"><![CDATA[$$H = \frac{{{{(\vec p - \frac{e}{c}\vec A)}^2}}}{{2m}} - \frac{{e\hbar }}{{2mc}}\vec \sigma \cdot \vec B + \frac{{e{\hbar ^2}}}{{4{m^2}{c^2}}}\frac{1}{r}\frac{{dV}}{{dr}}\vec l \cdot \vec \sigma + V(\vec r)$$