Grundgleichungen der Kontinuumsmechanik

Zusammenfassung

Der Erhaltungssatz der Masse wurde bereits im letzten Kapitel postuliert. Wir machen jetzt von den dortigen Ergebnissen Gebrauch, indem wir mit (1.83) den Erhaltungssatz (1.85) unter Verwendung von (1.93) in die Form

$$ \frac{D}{{Dt}}\int {\int\limits_{\left( {V\left( t \right)} \right)} {\int {\varrho dV = \int {\int\limits_{\left( V \right)} {\int {\left[ {\frac{{\partial \varrho }}{\partial } + \frac{\partial }{{\partial {x_i}}}\left( {\varrho {u_i}} \right)} \right]} dV = 0} } } } } $$

((2.1))

bringen. Diese Gleichung gilt bei jeder beliebigen Form des Volumens, das von der betrachteten Flüssigkeit eingenommen wird, d. h. bei jeder beliebigen Wahl des Integrationsbereichs (V). Nun ließe sich zwar (2.1) u. U. auch für nicht verschwindenden Integranden erfüllen, nicht aber bei beliebiger Wahl des Integrationsbereichs. Wir schließen also, daß der stetige Integrand selbst verschwindet, und werden so auf die lokale bzw. differentielle Form des Erhaltungssatzes der Masse geführt:

$$ \frac{{\partial \varrho }}{\partial } + \frac{\partial }{{\partial {x_i}}}\left( {\varrho {u_i}} \right) = 0 $$

((2.2))