Stetige Zufallsvariablen

Zusammenfassung

Eine Variable oder ein Merkmal X heißt stetig, falls zu zwei Werten a > b auch jeder Zwischenwert im Intervall [a, b] möglich ist (vgl. die Definition von Kapitel 1). Falls die Werte von X als Ergebnisse eines Zufallsvorgangs resultieren, wird X zu einer stetigen Zufallsvariable. Wie lassen sich nun Wahrscheinlichkeiten für Ereignisse der Form {a ≤ X ≤ b} festlegen? Für diskrete Zufallsvariablen ist P (a ≤ X ≤ b) gleich der Summe jener Wahrscheinlichkeiten p _i = f(x _i ) = P (X = x _i ), für die x _i in [a, b] liegt. Für stetige Zufallsvariablen sind die x-Werte in [a, b] nicht mehr abzählbar, sondern überabzählbar, so daß ein solches Aufsummieren nicht möglich ist. Um zu sehen, wie man für eine stetige Zufallsvariable X Wahrscheinlichkeiten P(a ≤ X ≤ b) geeignet festlegt, ist es dennoch zweckmäßig von einer diskreten Zufallsvariable X _d auszugehen, die man als Approximation von X ansehen kann. Stuft man den Wertebereich von X _d immer feiner ab, gelangt man dann durch eine Grenzbetrachtung zu sinnvollen Definitionen und Begriffsbildungen für stetige Zufallsvariablen.