Die Dirac-δ-Impulsfunktion und ihre Fourier-Transformierte

Zusammenfassung

Eine gewöhnliche Funktion x(t) hat die Eigenschaft, daß der Funktionswert für jedes t = t ₀ durch x(t ₀) gegeben ist. Die δ-Funktion gehört im Gegensatz hierzu zu den verallgemeinerten Funktionen oder Distributionen, die durch eine Funktionalbeziehung definiert sind. Die δ-Funktion ist durch folgende Eigenschaften definiert:

$$ \delta \left( t \right) = 0fut{\kern 1pt} t \ne 0, $$

(3.1)

$$ \int_{ - \infty }^\infty {\delta \left( {t - {t_0}} \right)} x\left( t \right)dt = x\left( {{t_0}} \right) $$

(3.2)

für jede beliebige Funktion x(t), die in t = t ₀ kontinuierlich ist (siehe Abb. 3.1). Insbesondere gilt

$$ \int_{ - \infty }^\infty {\delta \left( t \right)} dt = 1. $$

(3.3)

und

$$ \int_{ - \infty }^\infty {\delta \left( t \right)} x\left( t \right)dt = x\left( 0 \right) $$

(3.4)