Fourierreihen-Darstellung periodischer Funktionen

Zusammenfassung

Mit wenigen Ausnahmen lassen sich periodische Funktionen nach Sinus- und Kosinusfunktionen in eine Fourierreihe entwickeln. Ist x(t) eine eindeutige, periodische Funktion der unabhängigen Variablen t mit der Periode T und genügt x(t) den Dirichletschen Bedingungen, d.h. besitzt x(t) höchstens endlich viele Diskontinuitäten, Maxima und Minima in einem endlichen Intervall, und ist x(t) eine beschränkte Funktion,

EquationSource% MathType!MTEF!2!1!+- % feaagCart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaWaa8qmaeaaca % GG8bGaamiEaiaacIcacaWG0bGaaiykaiaacYhacaWGKbGaamiDaiab % gsMiJkaadogacqGH8aapcqGHEisPcaGGSaaaleaacaaIWaaabaGaam % ivaaqdcqGHRiI8aaaa!46A3!]]</EquationSource><EquationSource Format="TEX"><![CDATA[$$ \int_0^T {|x(t)|dt \leqslant c < \infty ,} $$

dann kann x(t) in Form der Fourierreihe

EquationSource% MathType!MTEF!2!1!+- % feaagCart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamiEaiaacI % cacaWG0bGaaiykaiabg2da9maalaaabaGaamyyamaaBaaaleaacaaI % WaaabeaaaOqaaiaaikdaaaGaey4kaSYaaabCaeaacaGGOaGaamyyam % aaBaaaleaacaWGUbaabeaakiGacogacaGGVbGaai4CaiaacIcacaaI % YaGaeqiWdaNaamOBaiaadAgadaWgaaWcbaGaaGimaaqabaGccaWG0b % GaaiykaiabgUcaRiaadkgadaWgaaWcbaGaamOBaaqabaGcciGGZbGa % aiyAaiaac6gacaGGOaGaaGOmaiabec8aWjaad6gacaWGMbWaaSbaaS % qaaiaaicdaaeqaaOGaamiDaiaacMcacaGGPaGaaiilaiaadAgadaWg % aaWcbaGaaGimaaqabaGccqGH9aqpdaWcaaqaaiaaigdaaeaacaWGub % aaaaWcbaGaamOBaiabg2da9iaaigdaaeaacqGHEisPa0GaeyyeIuoa % aaa!64A0!]]</EquationSource><EquationSource Format="TEX"><![CDATA[$$ x(t) = \frac{{{a_0}}}{2} + \sum\limits_{n = 1}^\infty {({a_n}\cos (2\pi n{f_0}t) + {b_n}\sin (2\pi n{f_0}t)),{f_0} = \frac{1}{T}} $$

(1.1)

dargestellt werden. Unter den obigen Bedingungen konvergiert diese Reihe und hat dort, wo x(t) stetig ist, den Wert x(t). In den Unstetigkeitsstellen nimmt die Reihe das Mittel des rechts- und linksseitigen Grenzwertes der Funktion an der Unstetigkeitsstelle an.