Zusammenfassung
In den vorangegangenen Kapiteln wurden Methoden vorgestellt, mit denen determinierte Signale beschrieben und die Übertragung solcher Signale über LTI-Systeme berechnet werden konnten. In diesem Kapitel sollen diese Methoden auf nichtdeterminierte Signale ausgedehnt werden. Nichtdeterminierte oder Zufallssignale können einerseits Nutzsignale sein, deren Information in ihrem dem Empfänger noch unbekannten Verlauf enthalten ist; sie können andererseits Störsignale sein, wie das nichtdeterminierte Rauschen eines Widerstandes, eines Verstärkers oder einer Antenne. Die Eigenschaften von Zufallssignalen können nur durch bestimmte Mittelwerte beschrieben werden. Methoden für eine sinnvolle Beschreibung werden von der Wahrscheinlichkeitstheorie bereitgestellt. Die im folgenden vorgestellte Behandlung von Zufallssignalen ist im mathematischen Sinn nicht ganz streng. Eine stärkere Bindung an die physikalische Anschauung wird aber bevorzugt, um mit nicht allzu großem Aufwand die für die weiteren Kapitel notwendigen Grundlagen legen zu können1.
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Literatur
Weiterführende Literatur z. B. Papoulis (1981); Davenport und Root (1968); Davenport (1970); Bendat (1958); Thomas (1968); Hänsler (1983); Shanmugan und Breipohl (1988).
Auch Ensemblemittelwert oder Erwartungswert, im folgenden durch den gewellten Überstrich gekennzeichnet. Häufig ist auch die Schreibweise E[s(t1)] für (6.1).
Eigenschaften und Bedeutung der so definierten Autokorrelationsfunktion einer Schar von Zufallssignalen werden in diesem Kapitel noch ausführlich diskutiert und auch zu der in Kap. 4 dargestellten Impulsautokorrelationsfunktion (Math) in Beziehung gesetzt.
Der Index k zur Kennzeichnung einer bestimmten Musterfunktion kann bei ergodischen Prozessen wegen (6.11) wegfallen.
Norbert Wiener (1894–1964), amerik. Mathematiker (s. Anhang zum Literaturverzeichnis). Yuk Wing Lee (* 1904), chin.-amerik. Ingenieur.
Aleksander J. Khintchine (1894–1959), russ. Mathematiker.
In vielen Veröffentlichungen geht man von einem einseitig, d.h. nur für= 0 definierten Leistungsdichtespektrum aus. Die so festgelegte Leistungsdichte besitzt dann im Vergleich zu (6.35) den doppelten Zahlenwert!
In Analogie zum weißen Licht, das alle sichtbaren Spektralanteile des Sonnenlichtes ungefiltert, wenn auch nicht mit konstanter Leistungsdichte, enthält.
Nach Vorarbeiten von W. Schottky und J. B. Johnson wurde die für thermisches Rauschen gültige Beziehung (6.41) 1928 von H. Nyquist abgeleitet (Anhang zum Literaturverzeichnis).
to match: anpassen, daher auch signalangepaßtes Filter. Zuerst angegeben 1943 von dem amerik. Physiker Dwight O. North (* 1909) für den Empfang von Radarsignalen (Anhang zum Literaturverzeichnis).
Der in diesem Kapitel benutzte Wahrscheinlichkeitsbegriff als Grenzwert (gemessener) Häufigkeiten ist zwar anschaulich und der meßtechnischen Praxis angemessen, aber im strengen Sinn nicht ganz befriedigend [vgl. die Bemerkung unter (6.1)]. In der heutigen Mathematik wird daher die Wahrscheinlichkeit axiomatisch definiert. Sie ist ein Maß, das einer Menge von Ereignissen zugeordnet ist. Dieses Maß kann durch einige wenige Eigenschaften festgelegt werden, die mit den idealisierten Eigenschaften der Häufigkeiten für große M übereinstimmen. Für ein tieferes Eindringen muß hier auf die eingangs dieses Kapitels zitierte Literatur verwiesen werden.
In Anlehnung an die entsprechend gebildeten Momente der Mechanik, z. B. Trägheitsmoment.
Zur Lösung dieses Faltungsprodukts kann die Fourier-Transformation benutzt werden (Aufgabe 6.15). Die inverse Fourier-Transformierte einer Verteilungsdichtefunktion wird charakteristische Funktion genannt, auch hiermit läßt sich natürlich das Faltungsprodukt berechnen.
Karl Friedrich Gauß (1777–1855), dt. Mathematiker und Physiker.
Bei einem beliebigen, nicht wie hier gebildeten Prozeß mit frequenzbeschränktem Leistungsdichtespektrum braucht (6.104) nicht für alle Musterfunktionen erfüllt zu sein. Trotzdem geht dann der mittlere quadratische Fehler über alle Interpolationen gegen Null.
Besser Pseudozufauszahlen, da die Algorithmen nur determinierte Zahlenfolgen liefern, die sich nach einer großen Zahl von Aufrufen periodisch wiederholen. Der Aufruf erfolgt z.B. in FORTRAN mit RAN(•) oder in BASIC mit RND(•). Binäre Pseu-dozufallszahlen [Pseudonoise (PN)-Folgen] können schaltungstechnisch besonders einfach mit rückgekoppelten binären Schieberegistern erzeugt werden.
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Lüke, H.D. (1992). Statistische Signalbeschreibung. In: Signalübertragung. Springer-Lehrbuch. Springer, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-662-09894-3_6
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