Testmengen

Zusammenfassung

Im Kapitel 4 wurden mehrere Testmethoden vorgestellt, die es erlauben, eine Familie von Polynomen

$$P(s,Q) = \{ p(s,q)|q \in Q\}$$

(5.0.1)

auf Stabilität zu prüfen. Diese Familie wird durch ein unsicheres Polynom

$$p(s,q) = {a_0}(q) + {a_1}(q)s + \ldots + {a_{n - 1}}(q){s^{n - 1}} + {a_n}(q){s^n},q \in Q$$

(5.0.2)

erzeugt, wobei die Koeffizienten a _i in einer Box Q variieren. Wie in Kapitel 4 werden reelle und stetige Koeffizientenfunktionen a _i (q) mit

$${a_n}(q) > 0$$

(5.0.3)

für alle q ∈ Q vorausgesetzt, wobei Q den Variationsbereich beschreibt:

$$Q = \{ q|qi \in [q_i^ - ;q_i^ + ],i = 1, \ldots ,\ell \} $$

(5.0.4)

Die bisher betrachteten Robustheitstests basierten auf der vollständigen Menge der unsicheren Parameter. Die Testmenge zur Überprüfung auf Robustheit der Polynome in Q war Q selbst. Hier erhebt sich die Frage, ob es ausreicht, nur eine Untermenge von Q zu prüfen. Betrachten wir z.B. das Polynom

$$p(s,q) = {q_1} + {q_2}s + {s^2}$$

(5.0.5)

mit den zwei unsicheren Parametern q ₁ und q ₂ , die in einem Rechteck

$$Q = \{ q|{q_i} \in [q_i^ - ;q_i^ + ],i = 1,2\} $$

(5.0.6)

variieren. Dafür existiert ein sehr einfacher Robustheitstest. P(s, Q) ist stabil für alle q = [q ₁ q ₂]^T. in Q dann und nur dann, wenn q ₁ > 0 und q ₂ > 0. Trivialerweise ist dies genau dann erfüllt, wenn q ₁ ⁻ > 0 und q₂ ⁻ > 0. Für ein unsicheres Polynom zweiten Grades ergibt sich daraus ein einfacher Robustheitstest: Das Polynom (5.0.5) ist im Rechteck Q genau dann stabil, wenn die Ecke

$${q^{ - - }}: = {[q_1^ - q_2^ - ]^T}$$

(5.0.7)

von Q einem stabilen Polynom entspricht (vereinfacht ausgedrückt: q ^-- ist stabil).