Zusammenfassung
Wir werden in diesem Abschnitt nicht relativistische Systeme, die aus sehr vielen identischen Teilchen bestehen, behandeln, und dazu einen effizienten Formalismus — die Methode der zweiten Quantisierung — einführen. Es gibt in der Natur zwei Sorten von Teilchen, Bosonen und Fermionen. Deren Zustände sind vollkommen symmetrisch bzw. vollkommen antisymmetrisch. Fermionen besitzen halbzahligen, Bosonen ganzzahligen Spin. Dieser Zusammenhang zwischen Spin und Symmetrie (Statistik) wird in der relativistischen Quantenfeldtheorie bewiesen (Spin-Statistik-Theorem). Eine wichtige Konsequenz in der Vielteilchenphysik sind Fermi-Dirac-Statistik und Bose-Einstein-Statistik. Wir stellen zunächst einige Vorbemerkungen voran, die an die Quantentheorie I, Kapitel 13 anknüpfen. Dabei ist für die späteren Abschnitte nur der erste Teil, bis Gl. (1.3.8), wesentlich.
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Literatur
Bekanntlich läßt sich jede Permutation als Produkt von elementfremden Zyklen darstellen, z.B. (124)(35). Jeder Zyklus läßt sich als Produkt von Transpositionen darstellen, z.B. (12) ungerade
Jeder Zyklus wird von links nach rechts durchgegangen (1 → 2, 2 → 4, 4 → 1), während die Produkte von Zyklen von rechts nach links angewandt werden.
F. Schwabl, Quantenmechanik, 4. Aufl., Springer, Berlin Heidelberg, 1994, Kap. 16. In späteren Zitaten wird dieses Buch mit QM I abgekürzt.
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Unter einem invarianten Unterraum versteht man einen Teilraum von Zuständen, der sich bei Anwendung der Gruppenelemente in sich transformiert
In den Zuständen |n 1, n 2, ...) sind n 1, n 2 usw. beliebige natürliche Zahlen, deren Summe nicht eingeschränkt ist. Das (verschwindende) Skalarprodukt zwischen Zuständen unterschiedlicher Teilchenzahl wird durch (1.3.3a) definiert.
Die zweite Zeile in (1.5.6a) trifft zu, wenn die Wellenfunktionen, auf die der Operator angewandt wird, im Unendlichen genügend stark abfallen, so daß der Oberflächenbeitrag in der partiellen Integration weggelassen werden kann.
Nur wenn Verwechslungsmöglichkeiten auftreten wie hier bei n̂ q oder früher beim Besetzungszahloperator wird der Operator mit einem Dach gekennzeichnet.
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Aufstellung von relativistischen Wellengleichungen
Die Quantentheorie basiert auf den folgenden Axiomen:
Der Zustand eines Systems wird beschrieben durch einen Zustandsvektor |ψ〉 in einem linearen Raum.
Die Observablen werden durch hermitesche Operatoren A... dargestellt, wobei Funktionen von Observablen durch die entsprechenden Funktionen der Operatoren dargestellt werden.
Der Mittelwert einer Observablen im Zustand |ψ〉 ist durch 〈A〉 = 〈ψ|A|ψ〉 gegeben.
Die Zeitentwicklung wird durch die Schrödinger-Gleichung mit dem Hamilton-Operator H bestimmt
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Schwabl, F. (1997). Zweite Quantisierung. In: Quantenmechanik für Fortgeschrittene (QM II). Springer-Lehrbuch. Springer, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-662-09630-7_1
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