Transversale Bahndynamik in Kreisbeschleunigern

Zusammenfassung

Der Inhalt des folgenden Kapitels ist von zentraler Bedeutung für das Verständnis der Kreisbeschleuniger. Nach Einführung der Gleichgewichtsbahn und des Standardkoordinatensystems betrachten wir die Hillsche Differentialgleichung. Die Lösungen sind quasiharmonische Schwingungen, die sogenannten Betatronschwingungen. Unter Verwendung des in Kap. 4 eingeführten Matrixformalismus führen wir die Twiss-Matrix ein und diskutieren das Stabilitätskriterium. Zur Lösung der Hillschen Differentialgleichung betrachten wir einen systematischen, mathematischen Lösungsweg und einen besonders kurzen und einfachen Lösungsweg. Aus der mathematischen Struktur der Lösungsfunktion gewinnen wir die Courant-Snyder-Invariante zur Beschreibung einer Teilchenbahn im Phasenraum. Ein einzelnes Teilchen bewegt sich im Phasenraum auf dem Rand einer sich stetig ändernden Ellipse, der soge-nannten Maschinenellipse. Diese Ellipse ist die Eigenellipse zur Twiss-Matrix. Sie kann mit Hilfe der Floquet-Transformation in der Form eines Kreises dargestellt werden. Die zentrale Funktion zur Beschreibung der transversalen Bahnbewegung ist die sogenannte Betatronfunktion β(s). Wichtige Aspekte dieser Funktion werden in einem gesonderten Abschnitt zusammengetragen. Schließlich wird zur Beschreibung von Teilchen mit einer endlichen Impulsabweichung vom Sollimpuls die periodische Dispersion des Kreisbeschleunigers und der Momentum-Compaction-Faktor eingeführt.