Zusammenfassung
Das relativistische Einkörperproblem kann in der Quantenmechanik von zwei Gesichtspunkten betrachtet werden. Man kann versuchen, lineare Gleichungen zu finden, die relativistisch invariant sind. Die Lösungen dieser Gleichungen bilden dann eine relativistisch invariante Mannigfaltigkeit, die die möglichen Zustände des Systems darstellt. Andererseits kann man versuchen, die invarianten Linearmannigfaltigkeiten direkt zu bestimmen, und dieser Weg ist der hier beschrittene. Auf diesem Wege findet man die relativistische Wellengleichungerst nachträglich, als eine Gleichung, die die schon bekannte Linearmannigfaltigkeit charakterisieren kann. — Im Falle einer endlichen Masse gibt auch der zweite Gesichtspunkt nur die Mannigfaltigkeiten, für die schon Majorana 1 Gleichungen angegeben hat. Die Mannigfaltigkeiten für verschwindende Restmasse können aber nicht einfach durch Grenzübergang von den Mannigfaltigkeiten mit endlicher ‘Restmasse erhalten werden. Sie enthalten für gegebenes Impulsmoment entweder nur ein oder zwei, oder aber unendlich viele Polarisationszustände. Der letztere Fall wird hier ausführlicher untersucht, Gleichungen angegeben, die diese Linearmannigfaltigkeiten charakterisieren [(11) und (12)] und die Form des skalaren Produktes bestimmt [(27) und (33) im Impulsraum, (39), (41) und (43) im Koordinatenraum].
Richard Becker zum 60. Geburtstag gewidmet.
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Literatur
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Dies wäre offenbar, wenn der physikalische Zustand die Wellenfunktion eindeutig bestimmen würde. Wie im Abschnitt 5, Fußnote 7 gezeigt worden ist, bleibt die Behauptung richtig, obwohl ein konstanter Faktor vom Betrag 1 in der Wellenfunktion sinnlos ist.
l. c. Fußnote 1, 2, Seite 665, und 1 – 3, Seite 666.
l. c. Fußnote 2, Seite 665, und 1 – 3, Seite 666.
Wigner, E.: Ann. of Math. 40, 149 (1939). Der oben skizzierte Zusammenhang zwischen relativistisch invarianten Linearmannigfaltigkeiten und Darstellungen wird an dieser Stelle ausführlich erörtert. Auch wird gezeigt, daß alle mehrdeutigen unitären Darstellungen der inhomogenen Lorentzgruppe ein-oder zweideutigen Darstellungen äquivalent sind.
Bargman, V.: Ann. of Math. 48, 568 (1947) hat neuerdings auch die Darstellungen der homogenen Lorentzgruppe bestimmt. Damit ist auch der Fall p 1 = p 2 = p 3 = p 4 = 0 gelöst, doch ist es unwahrscheinlich, daß dieser Fall direkte physikalische Bedeutung hat, weil doch alle Wellenfunktionen verschiebungsinvariant sind.
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Wigner, E.P. (1997). Relativistische Wellengleichungen. In: Wightman, A.S. (eds) Part I: Particles and Fields. Part II: Foundations of Quantum Mechanics. The Scientific Papers, vol A / 3. Springer, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-662-09203-3_5
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