Newton-Verfahren

Zusammenfassung

Dieses Kapitel geht noch einmal auf die Lösung von Systemen nichtlinearer Gleichungen ein; diesmal wird statt der Fixpunktform x = F(x) die Nullstellenform

$$ F(x) = 0,x \in {^n},F:{^n} \to {^n} $$

behandelt, und es stehen iterative Verfahren im Vordergrund, die gegenüber der Fixpunktiteration aus Kapitel 6 verbesserte Konvergenzeigenschaften haben. Um letzteres genauer quantifizieren zu können, wird der Begriff der Konvergenzordnung eingeführt. Durch Linearisierung von F erhält man das Newton-Verfahren. Es erweist sich unter geeigneten Voraussetzungen als lokal quadratisch konvergent, und durch eine Schrittweitenstrategie kann man das globale Konvergenzverhalten verbessern. Wie bei den Fixpunktproblemen soll zunächst der eindimensionale Fall etwas näher betrachtet werden.