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Nichtlineare Optimierung ohne Nebenbedingungen

  • Robert Schaback
  • Helmut Werner
Chapter
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Part of the Springer-Lehrbuch book series (SLB)

Zusammenfassung

In diesem Kapitel sollen einige Iterationsverfahren dargestellt werden, die zur Minimierung differenzierbarer reellwertiger Funktionen F : n dienen. Dabei heißt ein Punkt x* n globales Minimum von F, wenn
$$ F({x^*})F(x) $$
(16.1.1)
gilt. Bei lokalen Minima wird die Gültigkeit von (16.1.1) eingeschränkt auf alle x aus einer Umgebung von x*. In beiden Fällen gilt notwendig
$$ F({x^*}) = 0 $$
(16.1.2)
und die Lösungen x* des nichtlinearen n × n-Gleichungssystems (16.1.2) heißen kritische Punkte von F. Man versucht, lokale Minima oder zumindest kritische Punkte von F durch Iterationsverfahren der Form
$$ {x^{i + 1}}: = {x^{(i)}} + {x^{(t)}}{r^i} $$
(16.1.3)
zu berechnen, wobei r (i) n eine Suchrichtung und t (i) ∈ (0,1] eine geeignet zu wählende Schrittweite ist. Die Minimierung einer quadratischen Form
$$ {x^{i + 1}}: = {x^{(i)}} - {\text{ }}{\left( {F''\left( {{x^{\left( 1 \right)}}} \right)} \right)^{ - 1}}{F'^T}\left( {{x^{\left( i \right)}}} \right) $$
(16.1.4)
mit einer symmetrischen positiv definiten n × n-Matrix A und einem Vektor b n ist äquivalent zur Lösung des linearen Gleichungssystems Ax = 6, und deshalb steht das für diesen Spezialfall anwendbare Verfahren konjugierter Gradienten am Anfang. Es läßt sich leicht auf allgemeine Funktionen F : ℝ n →ℝ erweitern und heißt dann FLETCHER-REEVES-Verfahren.

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Copyright information

© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1992

Authors and Affiliations

  • Robert Schaback
    • 1
  • Helmut Werner
  1. 1.Institut für Numerische und Angewandte MathematikGöttingenDeutschland

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