Eigenwertaufgaben

Zusammenfassung

Analysiert man das Schwingungsverhalten von mechanischen oder elektrischen Systemen, so ergeben sich Eigenwertprobleme für Differentialoperatoren. Deren Diskreti-sierung führt auf Eigenwertprobleme für n x n-Matrizen. Zu einer n x n-Matrix A ist (math) das charakteristische Polynom. Die Nullstellen von φ(&#xλ) heißen Eigenwerte von A. Ist A ein Eigenwert von A, so gilt det (A - λE) = 0 und es gibt einen Vektor x ≠ 0 mit (A - λE)x = 0, d.h. Ax = λc. Ein solcher Vektor heißt (Rechts-)Eigenvektor zum Eigenwert A. Analog wird ein Vektor y ≠ 0 mit y ^T A = λy^T, d.h. A ^T y = λy Links-Eigenvektor zum Eigenwert A genannt. Wenn im folgenden von Eigenvektoren die Rede ist, sind stets Rechts-Eigenvektoren gemeint. Ferner wird in der Literatur häufig

$$ \varphi (\lambda ): = Det(\lambda E - A) $$

definiert, was natürlich unwesentlich ist, weil sich nur das Vorzeichen von φ ändert.