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Approximation

  • Robert Schaback
  • Helmut Werner
Chapter
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Part of the Springer-Lehrbuch book series (SLB)

Zusammenfassung

Bei der Interpolation einer Funktion ∈ C[a,b] (vgl. Kapitel 10 und 12) wird eine einfach berechenbare Funktion u aus einem linearen Teilraum U von C[a, b] gesucht, die in einer Anzahl von Punkten mit / übereinstimmt. Bei der Approximation soll u die gegebene Funktion f im ganzen Definitionsbereich gut darstellen. Um das zu quantifizieren, wird im Raum C[a, b] der stetigen Funktionen auf I := [a, b] eine Norm eingeführt, etwa durch
$$ \left\| f \right\|\infty : = \mathop {\max }\limits_{t \in I} \left| {f(t)} \right| $$
oder
$$ \left\| f \right\|p: = {(\int\limits_I {{{\left| {f(t)} \right|}^p}} dt)^{1/p}}({L_p} - Norm,p1) $$
und die “Güte” einer Approximation u einer Funktion / wird durch die Norm ||f - u|| der Fehlerfunktion f - u gemessen. Deshalb beginnt dieses Kapitel mit der Frage nach Existenz und Eindeutigkeit der besten Approximation u*U, die ||f - u|| unter allen U minimiert. Die Anwendungen bester Approximationen liegen auf der Hand; in elektronischen Rechenanlagen kann man beispielsweise die Werte der Tangensbzw. Cotangensfunktion dadurch berechnen, daß man zunächst das Argument modulo 7r/4 reduziert und dann den Wert eines ungeraden Polynoms 13. Grades in [0,π/4] ermittelt, das tan x bis auf 0.17 • 10–7 exakt approximiert. Dadurch ist es möglich, mit nur 8 Multiplikationen einen Tangens bis auf 7 Stellen nach dem Komma zu berechnen.

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Copyright information

© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1992

Authors and Affiliations

  • Robert Schaback
    • 1
  • Helmut Werner
  1. 1.Institut für Numerische und Angewandte MathematikGöttingenDeutschland

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