Harmonischer Oszillator

Zusammenfassung

Wir wenden uns nun einem Problem zu, das die ganze Physik durchzieht: der Antwort eines Systems auf kleine Auslenkungen aus einem stabilen Gleichgewicht. Wir betrachten ein eindimensionales Potential V[x] für ein Teilchen der Masse m und nehmen an, daß bei x = x0 ein lokales Minimum mit dem Wert V0 vorliegt. Dieses Minimum läst sich durch eine Taylor-Entwicklung beschreiben:

$$ Series[V[x],\{ x,xo,2\} ]/.$$

$$ \{ V[xo] \to Vo,\{ V'[{\text{xo}}] \to {\text{0}},\{ {\text{V''}}\} \} [{\text{xo}}] \to {\text{k}}\} $$

$$Vo = \frac{{k{{(x - xo)}^2}}}{2} + 0{[x - xo]^3}$$

Dabei definiert V′ [x0] → 0 ein Extremum und V″ [x0] → k > 0 ein Minimum. Für genügend kleine Auslenkungen aus der Gleichgewichtslage können wir daher die Kraft fast immer durch eine lineare Rückstellkraft -k(x - x0) annähern, wobei die Federkonstante k durch die Krümmung V″ [x0] des Potentials im Minimum gegeben ist. (Beachten Sie, daß wir hier V″ [xo] > 0 annehmen, was nicht immer der Fall ist; vgl. den anharmonischen Oszillator in Aufg. 7.3.2.)