Zusammenfassung
Die Formulierung des Problems in Abschnitt 2.4.2 läßt erkennen, daß es sich hier um eine Aufgabe der gemischt-ganzzahligen (linearen) Programmierung handelt. Man kann daher dieses Problem mit Standard-Software lösen. Allerdings ist der Aufwand für eine derartige Lösung des mehrstufigen Losgrößenproblems für realistische Problemgrößen nicht mehr vertretbar. Die Forschung konzentrierte sich daher auf die Entwicklung von Algorithmen, welche die strukturellen Eigenschaften des Losgrößenproblems ausnutzen und daher eine Beschleunigung der Problemlösung gestatten. Neben der Verbesserung von Algorithmen, die zu optimalen Lösungen führen, wurde aber vor allem an dem Entwurf leistungsstarker Heuristiken gearbeitet.
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Literatur
Detaillierte Übersichten finden sich bei Clark, A. J.: An Informal Survey of Multi-Echelon Inventory Theory, Naval Research Logistics Quartely, Vol. 19, No. 4, 1972, S. 621 ff.; Aggarwal, S. C.: A Review of Current Inventory Theory and its Applications, International Journal of Production Research, Vol. 12, No. 4, 1974, S. 443 ff. sowie De Bodt, M. A., Gelders, L. F., Van Wassenhove, L. N.: Lot-Sizing under Dynamic Demand Conditions: A Review, Engineering Costs and Production Eco-nomics, Vol. 8, 1984, S. 165 ff.
Vgl. Zangwill, W. I.: A Deterministic Multiproduct, Multi-Facility Production and Inventory Model, Operations Research, Vol. 14, 1966, S. 486 ff.
Vgl. Zangwill, W. I.: A Backlogging Model and a Multi-Echelon Model of a Dynamic Economic Lot Size Production System - A Network Approach, Management Science, Vol. 15, No. 9, 1969, S. 517 ff.
Allgemein kann dieses Problem als “Bestimmung von künstlichen Flüssen, die mini-male Kosten ergeben, falls jeder gerichteten Kante ein Kostenbetrag pro Flueein-heit zugeordnet ist”, verstanden werden (Busacker, R. G., Saaty, T. L.: Endliche Graphen und Netzwerke, München, 1968, S. 326).
Vgl. Zangwill, W. I.: Minimum Concave Cost Flows in Certain Networks, Management Science, Vol. 14, No. 7, 1966, S. 432
Vgl. Wagner, H. M., Whitin, T. M.: Dynamic Version of the Economic Lot Size Model, Management Science, a.a.O., S. 91. Vgl. hierzu auch Abschnitt 2.2.3
Vgl. Veinott, A. F.: Minimum Concave-Cost Solution of Leontief Substitution Models of Multi-Facility Inventory Systems, Operations Research, Vol. 17, 1969, S. 270 ff.
Dies gilt auch für das verwandte kapazitätsrestringierte Mehrprodukt-Losgrößenproblem. Hier geht es darum, einstufige Losgrößen für verschiedene Produkte unter Einhaltung einer gemeinsamen Kapazitätsrestriktion (z.B. Produktionskapazität, Lagerkapazität, Handlingkapazität) zu lösen. Bei gleicher Zielfunktion werden lediglich die Lagerbilanzgleichungen des mehrstufigen Systems durch die entsprechende Kapazitätsrestriktion ersetzt. Zur periodenweisen Vorgehensweise siehe u.a. Dixon, P. S., Silver, E. A.: A Heuristic Solution Procedure for the Multi-Item, Single-Level, Limited Capacity, Lot-Sizing Problem, a.a.O., S. 23 ff. Zum produktweisen Ansatz siehe u.a. Alscher, J.: Mehrprodukt-Lagerhaltung mit StandardLagerhaltungsmodellen - Erster Band, a.a.O., S. 197 ff. sowie Günther, H.-O., Heinrich, C.: Production Smoothing and Lot-Sizing, Proceedings Third International Symposium on Inventories, Budapest, 1984, S. 585 ff.
Vgl. Love, S. F.: A Facilities Inventory Model with Nested Schedules, Management Science, Vol. 18, No. 5, 1972, S. 329
Vgl. Crowston, W. B., Wagner, M. H.: Dynamic Lot-Size Models for Multi-Stage As-sembly Systems, Management Science, Vol. 20, No. 1, 1973, S. 15 f.
Vgl. Lambrecht, M. R., Vander Eecken, J., Vanderveken H.: A Comparative Study of Lot-Sizing Procedures for Multi-Stage Assembly Systems, a.a.O., S. 36 ff.
Vgl. hierzu Abschnitt 2.2.4
Solche Aggregationen bestimmter Stufen können natürlich auch vor der eigentlichen Losgrößenberechnung stattfinden. Unter gewissen Voraussetzungen kann nachgewiesen werden, daß es für bestimmte Stufen optimal ist, auf jeden Fall immer gemeinsam aufzulegen. Solche Stufen können dann zusammengefaßt und nach Berechnung der ge-meinsamen Kostenparameter als eine einzige Stufe in der Losgrößenbestimmung be-trachtet werden (vgl. hierzu Axsäter, S., Nuttle, H. L. W.: Aggregating Items in Multi-Level Lot Sizing, in: Axsater, S., Schneeweiß, Ch., Silver, E. A. (ed.): Multi-Stage Production Planning and Inventory Control, Berlin-Heidelberg-New York-Tokyo, 1986, S. 109 ff.).
Im praktischen Einsatz wird jedoch i.d.R. nicht der optimale Wagner-Whitin Algorithmus verwendet, da der anfallende Aufwand relativ hoch ist. Daneben werden vor allem Verständnisschwierigkeiten der Praktiker angegeben, die einer Implementierung im Wege stehen (vgl. Bitran, G. R., Magnanti, T. L., Yanasse, H. H.: Approximation Methods for the Uncapacitated Dynamic Lot Size Problem, Management Science, Vol. 30, No. 9, 1984, S. 1122).
Vgl. Graves, S. C.: Multi-Stage Lot-Sizing: An Iterative Procedure, TIMS Studies in the Management Sciences, Vol. 16, 1981, S. 95 ff.1) In der Heuristik wird unterstellt, daß dieser Wert immer existiert. Implizit wird daher angenommen, daß kein Anfangslagerbestand existiert und die Nachfrage in der ersten Periode größer als null ist. Vgl. hierzu Graves, S. L.: Multi-Stage Lot-Sizing: An Iterative Procedure, a.a.0, S. 99
Vgl. Eppen, G. D., Gould, F. J., Pashigian, B. P.: Extensions of the Planning Ho-rizon Theorem in the Dynamic Lot Size Model, Management Science, Vol. 15, No. 5, 1969, S. 268 ff.
Die Verwendung dieses Algorithmus erlaubt es natürlich, die Problemstellung auch auf Zielformulierungen mit zeitvarianten (und mengenabhängigen) Produktionskosten auszuweiten. Die Parameter e. * sowie die variablen Produktionskosten können bei der isolierten LosgrößenbestiAMFung als eine Kostenkomponente betrachtet werden. Aus Darstellungsgründen wird jedoch im folgenden auf eine Berücksichtigung varia-bier Produktionskosten verzichtet.
Zur weiteren Verbesserung der Lösung schlägt Graves unter bestimmten Bedingungen eine “collapsing routine” vor, bei der Stufen mit identischen Losauflagen zusam-mengefaßt werden. Da bei identischen Losauflagen keine Kostenauswirkungen der Vor-gängerstufen mehr verrechnet werden ce.._=o; Vt), besteht keine Möglichkeit, die Lösung weiter zu verbessern. Durch einaTijgregation dieser Stufen kann dieser Zu-stand behoben werden. Im folgenden soll jedoch diese Verbesserungsroutine nicht weiter betrachtet werden.
Die wichtigsten Arbeiten, die unter der Annahme konstanter Bedarfsraten durchgeführt wurden, finden sich in Abschnitt 4.2.1.2.
Vgl. hierzu die detaillierteren Ausführungen in Abschnitt 2.4.1.
Vgl. Love, S. F.: A Facility Inventory Model with Nested Schedules, a.a.O., S. 327 ff.
Vgl. Lambrecht, M. R., Vander Eecken, J., Vanderveken, H. (1981): Review of Opti-mal and Heuristic Methods for a Class of Facilities in Series Dynamic Lot-Size Problems, a.a.O., S. 73
Vgl. ebenda, S. 72
Vgl. Lambrecht, M. R., Vander Eecken, J., Vanderveken, H.: Review of Optimal and Heuristic Methods for a Class of Facilities in Series Dynamic Lot-Size Problems, a.a.O., S. 82. Zu einem ähnlichen Ergebnis kommen die Autoren auch in einer anderen Studie, in welcher sie größere Strukturen untersuchten (16 Stufen). Die Abweichung beträgt hier weniger als 1% (vgl. Lambrecht, M. R., Vander Eecken, J., Vanderveken, H.: A Comparative Study of Lot Sizing Procedures for Multi-Stage Assembly Systems, a.a.O., S. 41).
Vgl. Crowston, W. B., Wagner, M. H.: Dynamic Lot-Size Models for Multi-Stage As-sembly Systems, a.a.O., S. 14 ff.
Vgl. Garfinkel, R. S., Nemhauser, G. L.: Integer Programming, New York, 1972, S. 387
Vgl. Escher, C.: Einführung in die Methode Branch and Bound, Lecture Notes in Ope-rations Research and Mathematical Economics No. 4, Berlin-Heidelberg, 1968, S. 15
Vgl. Crowston, W. B., Wagner, M. H.: Dynamic Lot-Size Models for Multi-Stage As-sembly Systems, a.a.O. S. 18 ff.
Afentakis, P., Gavish, B., Karmarkkar, U.: Computationally Efficient Optimal Solutions to the Lot-Sizing Problem in Multistage Assembly Systems, Management Science, Vol. 30, No. 2, 1984, S. 222 ff.
Die Gradienten-Methode kann natürlich als ein von der Problemstruktur unabhängiges Verfahren zur Bestimmung der Lagrange-Parameter (Dualvariablen) eingesetzt werden. Prinzipiell ist es aber durchaus denkbar, Lösungen mit einem direkt auf eine spezielle Problemstruktur zugeschnittenen Verfahren zu erhalten (vgl. hierzu Fisher, M. L.: An Application Oriented Guide to Lagrangian Relaxation, INTERFACES, Vol. 15, No. 2., 1985, S. 11).
Afentakis et al. geben als maximale Abweichung 0,46% an (vgl. Afentakis, P., Gavish, B., Karmarkkar, U.: Computationally Efficient Optimal Solutions to the Lot-Sizing Problem in Multistage Assembly Systems, a.a.O., S. 235).
Rosling, K.: Optimal Lot-Sizing for Dynamic Assembly Systems, in: Axsäter, S., Schneeweiß, Ch., Silver, E. A. (ed.): Multi-Stage Production Planning and invento-ry Control, Berlin-Heidelberg-New York-Tokyo, 1986, S. 119 ff.
Bei der Benderschen Dekomposition wird ein gemischt ganzzahliges (lineares) Pro-blem in ein rein ganzzahliges lineares Problem und in ein lineares Programmierungsproblem mit stetigen Variablen aufgeteilt. Die Lösung des Problems erfolgt durch eine wechselseitige Berechnung des ganzzahligen Problems unter Verwendung der Dualvariablen des linearen Programmes und durch eine Berechnung des Duals des linearen Problems unter Verwendung der ganzzahligen Lösung. Eine detaillierte Beschreibung dieses Verfahrens findet sich u.a. bei Hu, C. H.: Ganzzahlige Programmierung und Netzwerkflüsse, München-Wien, 1972, S. 294 ff.
Da hier im Gegensatz zur sonst üblichen Benderschen Dekomposition nur jeweils ein Teil des linearen Programmes dualisiert wird, bezeichnet Rosling seine Vorgehens-weise auch als mehrstufige Bendersche Dekomposition (vgl. Rosling, K.: Optimal Lot-Sizing for Dynamic Assembly Systems, a.a.0, S. 126).
Vgl. Rosling, K.: Optimal Lot-Sizing for Dynamic, Assembly Systems, a.a.O., S. 126
Vgl. Rosling, K.: Optimal Lot-Sizing for Dynamic Assembly Systems, a.a.O., S. 128
McLaren, B. J.: A Study of Multiple-Level Lot-Sizing Procedures for Material Requirements Planning Systems, Diss. Purdue University, 1977, S. 97
Empirische Untersuchungen wurden hierzu von Wemmerlöv und Lambrecht et al. durchgeführt. Wemmerlöv verglich einstufige Losgrößenverfahren (Silver-Meal Heuristik, Groff-Heuristik, Wagner-Whitin Algorithmus), die zum einen mit den nach McLaren angepaßten Kostensätzen und zum anderen mit den “normalen” Kostensätzen durchgeführt wurden, und ermittelte eine durchschnittliche Verbesserung durch die Kostenmodifikation von ca. 4% (vgl. Wemmerlöv, U.: An Experimental Analysis of the Use of Echelon Costs and Single Stage Lot-Sizing Procedures in Multi-Stage Production/Inventory Systems, International Journal of Production Management, Vol. 2, No. 2, 1982, S. 48). Lambrecht et al. errechneten bei ihren Simulationsstudien eine Abweichung für die einstufige Vorgehensweise mit Hilfe angepaßter Kostenparameter von durchschnittlich nur 1,5% von der optimalen Lösung (vgl. Lambrecht, M. R., Vander Eecken, J., Vanderveken, H.: A Comparative Study of Lot Sizing Procedures for Multi-Stage Assembly Systems, a.a.O., S. 40).
Blackburn, J. D., Millen, R. A.: Improved Heuristics for Multi-Stage Requirements Planning Systems, Management Science, Vol. 28, No. 1, 1982, S. 44 ff.
Nicht alle der beschriebenen Methoden zur Bestimmung der Auflageverhältnisse r, gehen davon aus, dal3 die Ganzzahligkeitsbedingung erfüllt wird. Die von Blackburll und Millen durchgeführten Untersuchungen zeigen aber deutlich, daß die Berücksich-tigung dieser Bedingung zu sehr guten Ergebnissen führt (vgl. Blackburn, J. D., Millen, R. A.: Improved Heuristics for Multi-Stage Requirements Planning Systems, a.a.0.0 S. 52).
Die bereits genannten Ergebnisse, die mit Hilfe der angepaßten Kostensätze nach McLaren erzielbar sind, werden insbesondere für Strukturen mit einer hohen Produk-tionsstiefe von der von Blackburn und Millen vorgeschlagenen Kostenmodifikation übertroffen. Dies liegt natürlich insbesondere daran, daß Blackburn und Millen sämtliche Vorgängerstufen betrachten, während McLaren nur die direkten Vorgänger-stufen berücksichtigt (vgl. Blackburn, J., D., Millen, R. A.: Improved Heuristics for Multi-Stage Requirements Planning Systems, a.a.O., S. 54 f).
Peng, K.: Lot Sizing Heuristic for Multi-Echelon Assembly Systems, Engineering Costs and Production Economics, Vol. 9, 1985, S. 51 ff.
Die von Peng durchgeführte Aggregation stellt aber nicht sicher, daß es für die zusammengefaßten Stufen immer optimal ist, denselben Produktionsplan zu besitzen. Die Aggregation und die Bestimmung des gemeinsamen Produktionsplans stellt ledig-lich eine erste (Versuchs-) Lösung dar, die im weiteren Verlauf der Heuristik kor-rigiert werden kann. Die Aggregation kann daher nicht als Alternative zu der von Axsäter und Nuttle (vgl. Axsäter, S., Nuttle, H. L. W.: Aggregating Items in Mul-ti-Level Lot Sizing, a.a.O., S. 109 ff.) vorgeschlagenen Methode gesehen werden.
Peng benutzte denselben Versuchsaufbau wie Afentakis et al. Als maximale Abweichung der Heuristik von der optimalen Lösung werden 6,17% angegeben, während die durchschnittliche Abweichung 1,54% beträgt (vgl. Peng, K.: Lot Sizing Heuristic for Multi-Echelon Assembly Systems, a.a.O., S. 55).
Vgl. Lambrecht, M. R., Vander Eecken, J., Vanderveken, H.: A Comparative Study of Lot-Sizing Procedures for Multi-Stage Assembly Systems, a.a.O., S. 33 ff.
Vgl. ebenda, S. 36
Gekoppelte Losauflagen sind für Distributionsstrukturen insbesondere dann nicht vorteilhaft, wenn das Rüst-Lagerkostenverhältnis (R./14) einer Stufe i wesentlich größer ist als das entsprechende Verhältnis der Voigängerstufe. Eine ausführliche Diskussion mit einem Beispiel wird hierzu in Abschnitt 4.2.2.2 gegeben.
Unter sehr restriktiven Bedingungen bezüglich der Kostenparameter (z.B. R. > Rh; Vhen(i)) kann allerdings gezeigt werden, daß für eine Distributionsstruktûr eben-falls eine gekoppelte Losauflagepolitik optimal ist. Für diesen Fall stellt Veinott einen speziellen Algorithmus vor, der aber aufgrund der Tatsache, daß er nicht allgemein anwendbar ist, im folgenden nicht weiter verfolgt wird. Eine de-taillierte Darstellung findet sich in Veinott, A. F.: Minimum Concave-Cost Solu-tion of Leontief Substitution Models of Multi-Facility Inventory Systems, a.a.0, S. 275 f.
Zur Erinnerung wird nochmals darauf hingewiesen, daß dieser Algorithmus, obwohl er für serielle Strukturen konstruiert wurde, das “nested schedule” Theorem nicht verwendet.
Vgl. Veinott, A. F.: Minimum Concave-Cost Solution of Leontief Substitution Models of Multi-Facility Inventory Systems, a.a.0, S. 274 und S. 289
Die an einem Knoten ankommende Menge und damit dessen Zustand wird für eine seri-elle Struktur eindeutig durch die zwei Variablen a und ß bestimmt (vgl. Abschnitt 3.2.1). Für Distributionssysteme muß dagegen für jede Endstufe ein entsprechendes Paar (a,f3) betrachtet werden (vgl. Veinott, A. F.: Minimum Concave-Cost Solution of Leontief Substitution Models of Multi-Facility Inventory Systems, a.a.O., S. 289).
Vgl. Veinott, A. F.: Minimum Concave-Cost Solution of Leontief Substitution Models of Multi-Facility Inventory Systems, a.a.O., S. 274
Vgl. Kalymon, B. A.: A Decomposition Algorithm for Arborescence Inventory Systems, Operations Research, Vol. 20, 1972, S. 860 ff.
Da keine Einschränkung der Alternativenmenge vorgenommen werden kann, beträgt die Anzahl unterschiedlicher Produktionspläne 2(H 1) (M M’), wobei H der Planungshorizont und M° die Anzahl der Endproduktstufen ist.
Bei der begrenzten Enumeration wird der Enumerationsbaum im Gegensatz zur Dynamischen Programmierung und zum Branch and Bound rein sequentiell abgearbeitet. Zur Wahl der Organisationsart in Abhängigkeit von der Struktur des Enumerationsbaumes vgl. u.a. Müller-Merbach, H.: Optimale Reihenfolgen, Berlin-Heidelberg-New York, 1972, S. 32 ff.
Vgl. Kalymon, B. A.: A Decomposition Algorithm for Arborescence Inventory Systems, a.a.O., S. 872
Steinberg, E., Napier, H. A.: Optimal Multi-Level Lot Sizing for Requirements Planning Systems, Management Science, Vol. 26, No. 12, 1980, S. 1258 ff. Aufgrund fehlerhafter Formulierungen in dieser Arbeit vgl. auch McLain, J. O., Maxwell, W. L., Muckstadt, J. A., Thomas, L. J., Weiss, E. N.: On MRP Lot Sizing, Management Science, Vol. 28, No. 5, 1982, S. 582 ff. sowie Steinberg, E., Napier, H. A.: On “A Note on MRP Lot Sizing”, Management Science, Vol. 28, No. 5, 1982, S. 585 f.
Bereits für relativ kleine Probleme (3 Endprodukte mit Vorgängerstufen, die sich auf 3 weiteren pispositionsstufen befinden) erfordert die optimale Bestimmung für einen Zeithorizont von 12 Perioden eine Rechenzeit von über 15 Minuten auf einer Honeywell 6600 (vgl. Steinberg, S., Napier, H. A.: Optimal Multi-Level Lot Sizing for Requirements Planning Systems, a.a.O., S. 1269).
Afentakis, P., Gavish, B.: Optimal Lot-Sizing Algorithms for Complex Product Structures, Working Paper Series No. QM 8318, Syracuse University, Syracuse, New York, 1983
Afentakis, P., Gavish, B., Karmarkkar, U.: Computationally Efficient Optimal Solu-tions to the Lot-Sizing Problem in Multistage Assembly Systems, a.a.O., S. 222 ff.
Vgl. Afentakis, P., Gavish, B.: Optimal Lot-Sizing Algorithms for Complex Product Structures, a.a.0, S. 11
Als Obergrenze zur Berechnung von Produktionsstrukturen werden bei 2 Endproduktstuf en 20 Vorgängerstufen und bei 3 Endproduktstufen 15 Vorgängerstufen (jeweils bezogen auf einen Zeithorizont von 12 Perioden) angegeben (vgl. Afentakis, P., Gavish, B.: Optimal Lot-Sizing Algorithms for Complex Product Structures, a.a.O., S. 25).
Solche Untersuchungen liegen bislang nur für die Montagestruktur vor, für die ja ebenfalls diese Heuristik eingesetzt werden kann. Hier schneidet die Heuristik sehr gut ab. Bei allen Untersuchungen ist die Abweichung vom Optimum nie größer als 0,6% (vgl. Lambrecht, M. R., Vander Eecken, J., Vanderveken, H.: A Compara-tive Study of Lot Sizing Procedures for Multi-Stage Assembly Systems, a.a.O., S. 41 ff. sowie Graves, S. C.: Multi-Stage Lot-Sizing: An Iterative Procedure, a.a.O., S. 105).
Vgl. hierzu auch Kapitel 5, in dem die Ergebnisse verschiedener Losgrößenpolitiken (u.a. auch die Heuristik von Graves) für allgemeine Produktionsstrukturen vorge-stellt werden.
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Heinrich, C.E. (1987). Lösungsansätze für das Mehrstufige Losgrössenproblem. In: Mehrstufige Losgrößenplanung in hierarchisch strukturierten Produktionsplanungssystemen. Heidelberger betriebswirtschaftliche Studien. Springer, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-662-08649-0_4
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