Stabilität und Chaos

Zusammenfassung

In diesem Kapitel studieren wir eine größere Klasse von dynamischen Systemen, die über die Hamiltonschen Systeme hinausgehen. Dabei sind einerseits Systeme mit Dissipation besonders interessant, bei denen Energie durch Reibung verlorengeht und bei denen Energie aus äußeren Quellen eingespeist wird, andererseits diskrete oder diskretisierte Systeme, wie sie auf natürliche Weise beim Studium von Flüssen vermittels der Poincaréabbildung auftreten. Dissipation bedeutet immer, daß das dynamische System an andere Systeme in einer kontrollierbaren Weise gekoppelt ist. Die Stärke solcher Kopplungen erscheint in der betrachteten Dynamik in Form von Parametern, von denen die Lösungsscharen abhängen. Verändert man diese Parameter, so kann es vorkommen, daß der Fluß des Systems beim Überschreiten gewisser kritischer Werte der Parameter eine wesentliche strukturelle Änderung erfährt. Das führt ganz natürlich auf Fragen nach der Stabilität der Lösungsmannigfaltigkeit gegenüber Veränderungen der Kontrollparameter und nach dem Charakter solcher eventuell auftretender Strukturänderungen. Dabei lernt man, daß deterministische Systeme nicht nur das wohlgeordnete und klar beschreibbare Verhalten besitzen, das wir in den integrablen Beispielen der ersten Kapitel gefunden haben, sondern daß sie auch völlig ungeordnetes, chaotisches Verhalten zeigen können. Entgegen jahrhundertealter Vorstellung und vielleicht entgegen eigener Intuition ist chaotisches Verhalten nicht auf dissipative Systeme beschränkt (Turbulenz viskoser Flüssigkeiten, Klimadynamik, etc.).