Advertisement

Mechanik pp 277-331 | Cite as

Stabilität und Chaos

  • Florian Scheck
Part of the Springer-Lehrbuch book series (SLB)

Zusammenfassung

In diesem Kapitel studieren wir eine größere Klasse von dynamischen Systemen, die über die Hamiltonschen Systeme hinausgehen. Dabei sind einerseits Systeme mit Dissipation besonders interessant, bei denen Energie durch Reibung verlorengeht und bei denen Energie aus äußeren Quellen eingespeist wird, andererseits diskrete oder diskreti-sierte Systeme, wie sie auf natürliche Weise beim Studium von Flüssen vermittels der Poincaréabbildung auftreten. Dissipation bedeutet immer, daß das dynamische System an andere Systeme in einer kontrollierbaren Weise gekoppelt ist. Die Stärke solcher Kopplungen erscheint in der betrachteten Dynamik in Form von Parametern, von denen die Lösungsscharen abhängen. Verändert man diese Parameter, so kann es vorkommen, daß der Fluß des Systems beim Überschreiten gewisser kritischer Werte der Parameter eine wesentliche strukturelle Änderung erfährt. Das führt ganz natürlich auf Fragen nach der Stabilität der Lösungsmannigfaltigkeit gegenüber Veränderungen der Kontrollparameter und nach dem Charakter solcher eventuell auftretender Strukturänderungen. Dabei lernt man, daß deterministische Systeme nicht nur das wohlgeordnete und klar beschreibbare Verhalten besitzen, das wir in den integrablen Beispielen der ersten Kapitel gefunden haben, sondern daß sie auch völlig ungeordnetes, chaotisches Verhalten zeigen können. Entgegen jahrhundertealter Vorstellung und vielleicht entgegen eigener Intuition ist chaotisches Verhalten nicht auf dissipative Systeme beschränkt (Turbulenz viskoser Flüssigkeiten, Klimadynamik, etc.).

Preview

Unable to display preview. Download preview PDF.

Unable to display preview. Download preview PDF.

Literatur

  1. Arnold, V.I.: Catastrophe Theory (Springer, Berlin, Heidelberg 1992)CrossRefGoogle Scholar
  2. Bergé, P., Pomeau, Y., Vidal, Ch.: Order within Chaos; Towards a Deterministic Approach to Turbulence (Wiley & Sons, New York 1987), französ. Originalausgabe (Hermann, Paris 1984)Google Scholar
  3. Collet, P., Eckmann, J. P.: Iterated Maps on the Interval as Dynamical Systems, Progress in Phys. Ser., Vol. 1 (Birkhäuser, Boston 1990)Google Scholar
  4. Devaney, R.L.: An Introduction to Chaotic Dynamical Systems (Addison-Wesley Reading 1989)zbMATHGoogle Scholar
  5. Feigenbaum, M.: J. Stat. Phys. 19, 25 (1978) und 21, 669 (1979)MathSciNetADSzbMATHCrossRefGoogle Scholar
  6. Guckenheimer, J., Holmes, Ph.: Nonlinear Oscillations, Dynamical Systems, and Bifurcations of Vector Fields, Appl. Mathem. Sci. Ser., Vol. 42 (Springer, New York 1990)Google Scholar
  7. Hénon, M., Heiles, C: Astron. Journ. 69, 73 (1964)ADSCrossRefGoogle Scholar
  8. Palis, J., de Melo, W.: Geometric Theory of Dynamical Systems (Springer, Berlin, Heidelberg 1982)zbMATHCrossRefGoogle Scholar
  9. Peitgen, H.O., Richter, P. H.: Beauty of Fractals: Images of Complex Dynamical Systems (Springer, Berlin, Heidelberg 1991)Google Scholar
  10. Ruelle, D.: Elements of Differentiable Dynamics and Bifurcation Theory (Academic Press, Boston 1989)zbMATHGoogle Scholar
  11. Schuster, H.G.: Deterministic Chaos, An Introduction (VCH, Weinheim 1987)Google Scholar
  12. Wisdom, J.: Chaotic Behaviour in the Solar System, Nucl. Phys. B (Proc. Suppl.) 2, 391 (1987)CrossRefGoogle Scholar

Copyright information

© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1994

Authors and Affiliations

  • Florian Scheck
    • 1
  1. 1.Fachbereich Physik, Institut für PhysikJohannes Gutenberg-UniversitätMainzDeutschland

Personalised recommendations