Geometrische Aspekte der Mechanik

Zusammenfassung

Die Mechanik trägt in vielerlei Hinsicht geometrische Züge, die an verschiedenen Stellen in den ersten vier Kapiteln deutlich hervorgetreten sind. Die Struktur des Raum-Zeitkontinuums in der nichtrelativistischen und der speziell-relativistischen Mechanik, in welches die Dynamik eingebettet ist, ist ein erstes und wichtiges Beispiel. Besonders aber die Formulierung der Lagrangeschen Mechanik sowie der kanonischen Hamilton-Jacobischen Mechanik auf dem Raum der verallgemeinerten Koordinaten bzw. dem Phasenraum bringt starke geometrische Züge dieser Mannigfaltigkeiten zutage. (Man denke z.B. an die symplektische Struktur des Phasenraums und den Liouvilleschen Satz.) Die geometrische Natur der Mechanik wird allein schon dadurch deutlich, daß sie wesentliche Impulse für die Entwicklung der modernen Differentialgeometrie gegeben hat. Umgekehrt hat die abstrakte Ausformulierung der Differentialgeometrie (und einiger damit verwandter mathematischer Disziplinen) erst das Rüstzeug für die Behandlung moderner Probleme der qualitativen Mechanik geschaffen — ein eindrucksvolles Beispiel für die gegenseitige Befruchtung von reiner Mathematik und Theoretischer Physik.