Mechanik des starren Körpers

Zusammenfassung

Die Theorie des starren Körpers ist ein besonders wichtiges Teilgebiet der allgemeinen Mechanik: Zum einen ist der Kreisel nächst den kugelsymmetrischen Massenverteilungen des Abschn. 1.29 das einfachste Beispiel eines ausgedehnten Körpers. Zum zweiten stellt die Dynamik des starren Körpers einen besonders schönen Modellfall dar, an dem man die allgemeinen Prinzipien der kanonischen Mechanik ausprobieren und die Folgerungen aus den jeweiligen räumlichen Symmetrien besonders anschaulich studieren kann. Zum dritten stellen die Bewegungsgleichungen des Kreisels, die Eulerschen Gleichungen, ein interessantes Beispiel für nichtlineare Dynamik dar. (Damit ist gemeint, daß diese Gleichungen nicht in linearer Weise von den gesuchten dynamischen Variablen und deren Ableitungen abhängen.) Zum vierten schließlich führt die Beschreibung des starren Körpers wieder auf die kompakte Liesche Gruppe SO (3), die wir im Zusammenhang mit der Invarianz von mechanischen Bewegungsgleichungen unter Drehungen des Koordinatensystems studiert haben: Der Konfigurationsraum des nichtentarteten Kreisels ist das direkte Produkt aus dem dreidimensionalen Raum ℝ³ und der Gruppe SO(3) in dem Sinne, daß seine momentane Konfiguration durch die Angabe (i) der Lage des Schwerpunktes, (ii) der Orientierung des Körpers relativ zu einem vorgegebenen Inertialsystem vollständig bestimmt ist. Der Schwerpunkt wird durch einen Bahnvektor r _s (t) im ℝ³, die Orientierung durch drei zeitabhängige Winkel beschrieben, die die Mannigfaltigkeit der SO (3) aufspannen. (Nichtentartet heißt hier, daß nicht alle Punkte des Körpers auf einer Achse liegen. Ist dies der Fall, so spricht man von einer Hantel. Die Konfigurationsmannigfaltigkeit der Hantel ist die Mannigfaltigkeit ℝ³×S ².) Schließlich gibt es einige Spezialfälle in der Theorie des starren Körpers, die sich integrieren, und solche, die sich geometrisch lösen lassen; man lernt also noch einige weitere integrable Systeme kennen.