Absolute Stetigkeit

Zusammenfassung

Im ganzen folgenden Kapitel sei A eine σ-Algebra. Ein wesentliches Ziel der folgenden Überlegungen ist die genaue Charakterisierung aller Maße v auf A, die bez. eines fest vorgegebenen σ-endlichen Maßes μ auf A eine Dichte haben. Zentrale Ergebnisse sind hier der Satz von Radon—Nikodým und der Lebesguesche Zerlegungssatz. Diese Sätze gelten sogar für sog. signierte Maße v, die sich von Maßen lediglich dadurch unterscheiden, daß die Forderung der Nichtnegativität fallengelassen wird. Jedes signierte Maß ist darstellbar als Differenz von Maßen (Jordanscher Zerlegungssatz). — Als Anwendung des Satzes von Radon—Nikodým bestimmen wir die Dualräume der Räume L ^p (1 ≤ p < ∞). In § 4 stellen wir den Zusammenhang des Begriffs „absolut stetig“ mit der Differentiation von Funktionen auf ℝ her. Das führt uns zum sog. Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung für das Lebesgue-Integral und zum Lebesgueschen Zerlegungssatz für Lebesgue—Stieltjessche Maße auf ℝ.