Zusammenfassung
Wenn man geometrische Probleme studieren will, bei denen auch Längen oder Winkel eine Rolle spielen, dann reichen die Vektorraumdaten nicht mehr aus, man muß den Vektorraum mit einer “Zusatzstruktur” versehen. Die Zusatzstruktur, die man für die metrische (oder “euklidische”) Geometrie im reellen Vektorraum braucht, ist das Skalarprodukt, womit nicht die skalare Multiplikation ℝ × V→ Vgemeint ist, sondern eine neu zu definierende Art von Verknüpfung V× V→ ℝ, nämlich:
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Definition: Sei Vein reeller Vektorraum. Ein Skalarproduktin Vist eine Abbildung
$$ \begin{array}{*{20}{l}} {V \times V \to R} \\ {\quad \left( {x,y} \right) \mapsto \left\langle {x,y} \right\rangle } \end{array} $$mit den folgenden Eigenschaften:
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(i)
Bilinearität: Für jedes x∈ Vsind die Abbildungen
$$ \begin{array}{*{20}{c}} {\left\langle { \cdot ,x} \right\rangle :V \to R} & {} & {\left\langle {x, \cdot } \right\rangle :V \to R} \\ {v \mapsto \left\langle {v,x} \right\rangle } & {und} & {v \mapsto \left\langle {x,v} \right\rangle } \\ {} & {} & {} \\ \end{array} $$linear.
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(ii)
Symmetrie: 〈x, y〉 = 〈y, x〉 für alle x, y∈ V
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(iii)
Positive Definitheit: 〈x, x〉 > 0 für alle x≠ 0.
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(i)
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Jänich, K. (2002). Euklidische Vektorräume. In: Lineare Algebra. Springer-Lehrbuch. Springer, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-662-08377-2_8
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DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-662-08377-2_8
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