Matrizenrechnung

Zusammenfassung

Wir werden uns gleich ausführlich mit der Multiplikation von Matrizen beschäftigen. Zuvor aber ein Wort über die Additionund Skalarmultiplikationin M(m× n, 𝕂). Staat $A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}& \cdots &{{a_{1n}}} \\ :&{}&: \\ {{a_{m1}}}& \cdots &{{a_{mn}}} \end{array}} \right)$ kann man auch kurz A= (a _ij),=1,..,m; j=1,.., nschreiben oder, wenn auf andere Weise gesagt wurde, wieviele Zeilen und Spalten Ahat, auch einfach A= (a _ij ). Addition und Skalarmultiplikation geschehen nun elementweise, wie bei r-tupeln:

• Definition:Sind (a _ij ), (b _ij )∈ M( m× n, 𝕂) und λ ∈ 𝕂, so ist (a _ij ) + (b _ij ) := (a _ij + b _ij ) ∈ M( m× n, 𝕂) und λ (a _ij ) := (λa _ij ) ∈ M( m× n, 𝕂).

• Notiz 1:M( m× n, 𝕂) wird dadurch zu einem Vektorraum über 𝕂. Da sich dieser Vektorraum offenbar nur durch die Schreibweise der Elemente (im Rechteck statt in einer langen Zeile) von 𝕂^mnunterscheidet, hat er die Dimension mn.

• Notiz 2:Die Abbildung M( m× n, 𝕂) → Hom(𝕂ⁿ,𝕂^mdie dadurch definiert ist, daß man jeder Matrix Adie lineare Abbildung 𝕂ⁿ→ 𝕂^m, x→ Axzuordnet, ist ein Isomorphismus der Vektorräume.