Die Gammafunktion

Zusammenfassung

Das Problem, die Funktion n!, n ∈ ℕ, auf reelle Argumente auszudehnen und eine möglichst einfache „Fakultätenfunktion“ zu finden, die an der Stelle n ∈ ℕ den Wert n! hat, führte Euler 1729 zur Γ-Funktion. Er gibt das unendliche Produkt

EquationSource% MathType!MTEF!2!1!+- % feaagCart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbWexLMBbXgBd9gzLbvyNv2CaeHbl7mZLdGeaGqiVu0Je9sqqr % pepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs % 0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-xfr-xb9adbaqaaeGaciGaai % aabeqaamaabaabauaakeaacaWGgbGaaiikaiaadQhacqGHRaWkcaaI % XaGaaiykaiaacQdacqGH9aqpfaqabeGacaaabaGaaGymaiaac6caca % aIYaGaamOwaaqaaiaaikdadaahaaWcbeqaaiaaigdaaaGccqGHsisl % caWGAbGaaG4mamaaCaaaleqabaGaamOwaaaaaOqaamaalaaabaGaaG % ymaaqaaiabgUcaRiaadQhaaaaabaGaaGOmaiabgUcaRiaadQhaaaqb % aeqabiqaaaqaaiaaiodadaahaaWcbeqaaiaaigdacqGHsislcaWGAb % GaaGinaiaadQfaaaaakeaacaaIZaGaey4kaSIaamOEaaaacaGGNaGa % ai4jaiaacEcacqGHsisldaahaaWcbeqaaiaaicdacaaIWaaaaOGaaG % ymaiabgUcaRuaabeqaceaaaeaacaaIXaGaaiykaiaacEcadaWgaaWc % baGaam4qaiaaigdaaeqaaOGaamOEaiaaigdaaeaacaWG2baaaaaa!67D8!]]</EquationSource><EquationSource Format="TEX"><![CDATA[$$\Gamma \left( {z + 1} \right): = \frac{{1 \cdot 2^z }} {{1 + z}} \cdot \frac{{2^{1 - z} 3^z }} {{2 + z}} \cdot \frac{{3^{1 - z} 4^z }} {{3 + z}} \cdot \ldots \prod\limits_{v = 1}^\infty {\left( {1 + \frac{1} {v}} \right)^2 \left( {1 + \frac{z} {v}} \right)^{ - 1} } $$

als Lösung an^*). Euler betrachtet nur reelle Argumente; Gauss läßt 1811 auch komplexe Zahlen zu. Am 21. November 1811 schreibt er an Bessel (1784–1846), der sich ebenfalls mit dem Problem der allgemeinen Fakultäten beschäftigte: „Will man sich aber nicht ... zahllosen Paralogismen und Paradoxen und Widersprüchen blossstellen, so muss 1·2·3... x nicht als Definition von Пx gebraucht werden, da eine solche nur, wenn x eine ganze Zahl ist, einen bestimmten Sinn hat, sondern man muss von einer höheren algemein, selbst auf imaginäre Werthe von x anwendbaren, Definition ausgehen, wovonchrw ... jene als specieller Fall erscheint.

Also das Product 1·2·3 ... x = Пx ist die Function, die meiner Meinung nach in der Analyse eingeführt werden muss (C.F. Gauss an F.W. Bessel, 21. Nov. 1811).