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Unendliche Produkte holomorpher Funktionen

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Funktionentheorie 2

Part of the book series: Springer-Lehrbuch ((GRUNDWISSEN,volume 6))

  • 134 Accesses

Zusammenfassung

Unendliche Produkte traten erstmals 1579 bei F. Vieta auf, Opera, S. 400, Leyden 1646; er gab für die Kreiszahl π die Formel

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an, (vgl. [Z], S. 104 u. S. 118). J. Wallis fand 1655, Arithmetica infinitorum, Opera I, S. 468, das berühmte Produkt

EquationSource% MathType!MTEF!2!1!+- % feaagCart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbWexLMBbXgBd9gzLbvyNv2CaeHbl7mZLdGeaGqiVu0Je9sqqr % pepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs % 0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-xfr-xb9adbaqaaeGaciGaai % aabeqaamaabaabauaakeaafaqabeGabaaabaGaamOCaiaadshaaeaa % caaIYaaaamaalaaabaqbaeqabeWaaaqaaiaaikdacaGGUaGaaGOmaa % qaaiaaisdacaGGUaGaaGinaaqaaiaaiAdacaGGUaGaaGOnaaaaaeaa % faqabeqadaaabaGaaGymaiaac6cacaaIZaaabaGaaG4maiaac6caca % aI1aaabaGaaGynaiaac6cacaaI3aaaaaaacqGHIaYTcqGHIaYTcqGH % IaYTdaWcaaqaaiaaikdacaWGUbGaeyOeI0IaaGOmaiaad6gaaeaaca % GGOaGaaGOmaiaad6gacqGHsislcaaIXaGaaiykaiabgkci3kaacIca % caaIYaGaamOBaiabgUcaRiaaigdacaGGPaaaaiabgkci3kabgkci3k % abgkci3caa!676D!]]</EquationSource><EquationSource Format="TEX"><![CDATA[$$\begin{array}{*{20}{c}} {rt} \\ 2 \end{array}\frac{{\begin{array}{*{20}{c}} {2.2}&{4.4}&{6.6} \end{array}}}{{\begin{array}{*{20}{c}} {1.3}&{3.5}&{5.7} \end{array}}} \bullet \bullet \bullet \frac{{2n - 2n}}{{(2n - 1) \bullet (2n + 1)}} \bullet \bullet \bullet $$

(vgl. [Z], S. 104 u. S. 119). Aber erst L. Euler hat systematisch mit unendlichen Produkten gearbeitet und wichtige Produktentwicklungen aufgestellt; vgl. Kapitel 9 seiner Introductio. Die ersten Konvergenzkriterien rühren von Cauchy her, Cours d’Analyse, S. 562 ff. Ihren festen Platz in der Analysis fanden unendliche Produkte spätestens 1854 durch Weierstrass, [Wei], S. 172 ff.*)

Allgemeine Sätze über die Convergenz der unendlichen Producte sind zum grossen Theile bekannt (Weierstrass 1854).

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Literatur

  1. Bernoulli, J.: Ars Conjectandi, Die Werke von Jakob Bernoulli, Bd. 3, 107–286, Birkhäuser 1975; deutsche Übersetzung von R. HAUSSNER, Ostwald’s Klassiker 107 (1895)

    Google Scholar 

  2. Von Fuss, P.H. (editor): Correspondance mathématique et physique de quelques célèbres géomètres du XVIII“m° siècle, St. Pétersbourgh 1843, 2 Bände; Nachdruck 1968 durch Johnson Reprint Corp.

    Google Scholar 

  3. Dichson, L.E.: History of the theory of numbers, Bd. 2, Chelsea Publ. Comp. New York 1952

    Google Scholar 

  4. Esenstein, F.G.M.: Genaue Untersuchung der unendlichen Doppelproducte, aus

    Google Scholar 

  5. welchen die elliptischen Functionen als Quotienten zusammengesetzt sind, und der mit ihnen zusammenhängenden Doppelreihen, Journ. reine angew. Math. 35, 153–274 (1847); Math. Werke 1, 357–478

    Google Scholar 

  6. Enestrm, G.E.: Jacob Bernoulli und die Jacobischen Thetafunktionen, Bibl. Math. 9, 3. Folge, 206–210 (1908–1909)

    Google Scholar 

  7. Leonhardi EULERI Opera omnia, sub auspiciis societatis scientiarum naturalium Helveticae, Series I-IV A, 1911

    Google Scholar 

  8. Ewell, J.A.: Consequences of Watson’s quintuple-product identity, Fibonacci Quarterly 20(3), 256–262 (1982)

    Google Scholar 

  9. Gauss, C.F.: Summatio quarumdam serierum singularium, Werke 2, 9–45

    Google Scholar 

  10. Gordon, B.: Some identities in combinatorial analysis, The Quart. Joum. Math. Oxford) 12, 285–290 (1961)

    Google Scholar 

  11. Hardy, G.H. und E.M. Wright: An introduction to the theory of numbers, Oxford at the Clarendon Press, 4. Aufl. 1960; deutsche Übersetzung der 3. Aufl. durch H. RUOFF, Oldenbourg München 1958

    Google Scholar 

  12. Eulerl.: Introductio in Analysin Infinitorum, 1. Band, Lausanne 1748; in [Eu],I-8; deutsche Übersetzung „Einleitung in die Analysis des Unendlichen“ 1885 bei Julius Springer, Nachdruck Springer 1983

    Google Scholar 

  13. Jacobi C.G.J.: Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum, Ges. Werke 1, 49–239

    Google Scholar 

  14. Jacbio C.G.J.: Ueber unendliche Reihen, deren Exponenten zugleich in zwei verschiedenen quadratischen Formen enthalten sind, Journ. reine angew. Math. 37, 61–94 und 221–254 (1848); Ges. Werke 2, 217–288

    Google Scholar 

  15. Briefwechsel zwischen C.G.J. Jacobi und P.H. von Fuss über die Herausgabe der Werke Leonhard Eulers, ed. P. STÄCKEL und W. AHRENS, Teubner Leipzig 1908

    Google Scholar 

  16. Jnhjg, C.G.J.: Correspondance mathématique avec Legendre, Ges. Werke 1, 385–461

    Google Scholar 

  17. Knopp K.: Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen, Julius Springer 1921, letzter Nachdruck 1980

    Google Scholar 

  18. Khfghjjtf L.: Theorie der einfachen und der vielfachen Integrale, ed. E. Netto Teubner Leipzig 1894

    Google Scholar 

  19. Moore E.H.: Concerning the definition by a system of functional properties of thefunction f(z) = sin itz, Ann. Math. 9, 1. Ser., 43–49 (1894)

    Google Scholar 

  20. Neher E.: Jacobi’s Tripelprodukt Identität und ry-Identitäten in der Theorie affiner Lie-Algebren, Jber, DMV 87, 164–181 (1985)

    Google Scholar 

  21. Pringsheim A.: Über die Convergenz unendlicher Produkte, Math. Ann. 33, 119–154 (1889)

    Google Scholar 

  22. RITT, J.F.: Representation of analytic function as infinite products, Math. Zeitschr. 32, 1–3 (1930)

    Article  MathSciNet  MATH  Google Scholar 

  23. Vcndso G.: Théorie des fonctions, 2. Aufl., Masson et Cie, Paris 1948

    Google Scholar 

  24. Watson G.N.: Theorems stated by Ramanujan (VII): Theorems on continued fractions, Journ. London Math. Soc. 4, 39–48 (1929)

    Google Scholar 

  25. Weierstrass K.: Über die Theorie der analytischen Facultäten, Journ. reine angew. Math. 51, 1–60 (1856); Math. Werke 1, 153–221

    Google Scholar 

  26. Weil A.: Number Theory: an approach through history, from Hammurapi to Legendre, Birkhäuser 1984

    Google Scholar 

  27. Zahlen, Grundwissen Mathematik 1, Springer 1983, 2. Aufl. 1988

    Google Scholar 

  28. Zeller Chr.: Zu Eulers Recursionsformel für die Divisorensummen, Acta Math. 4, 415–416 (1884)

    Google Scholar 

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  1. Mathematisches Institut, Universität Münster, Einsteinstraße 62, W-4400, Münster, Germany

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Remmert, R. (1991). Unendliche Produkte holomorpher Funktionen. In: Funktionentheorie 2. Springer-Lehrbuch, vol 6. Springer, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-662-07354-4_1

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