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Unendliche Produkte holomorpher Funktionen

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Funktionentheorie 2

Part of the book series: Springer-Lehrbuch ((SLB))

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Zusammenfassung

Unendliche Produkte traten erstmals 1579 bei F. Vieta auf, Opera, S. 400, Leyden 1646; er gab für die Kreiszahl π die Formel

EquationSource% MathType!MTEF!2!1!+- % feaaguart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeaacaGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaWaaSaaaeaaca % aIYaaabaGaeqiWdahaaiabg2da9maakaaabaWaaSaaaeaacaaIXaaa % baGaaGOmaaaaaSqabaGccaGGUaWaaOaaaeaadaWcaaqaaiaaigdaae % aacaaIYaaaaiabgUcaRmaalaaabaGaaGymaaqaaiaaikdaaaWaaOaa % aeaadaWcaaqaaiaaigdaaeaacaaIYaaaaaWcbeaaaeqaaOGaaiOlam % aakaaabaWaaSaaaeaacaaIXaaabaGaaGOmaaaacqGHRaWkdaWcaaqa % aiaaigdaaeaacaaIYaaaamaakaaabaWaaSaaaeaacaaIXaaabaGaaG % OmaaaacqGHRaWkdaWcaaqaaiaaigdaaeaacaaIYaaaaaWcbeaakmaa % kaaabaWaaSaaaeaacaaIXaaabaGaaGOmaaaaaSqabaaabeaakiaac6 % cacqWIMaYsaaa!4DCE!EquationSource$$\frac{2}{\pi } = \sqrt {\frac{1}{2}} .\sqrt {\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\sqrt {\frac{1}{2}} } .\sqrt {\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\sqrt {\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \sqrt {\frac{1}{2}} } . \ldots $$

an, (vgl. [Z], S. 104 u. S. 118). J. Wallis fand 1655, Arithmetica infinitorum, Opera I, S. 468, das berühmte Produkt

EquationSource% MathType!MTEF!2!1!+- % feaaguart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeaacaGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaWaaSaaaeaacq % aHapaCaeaacaaIYaaaaiabg2da9maalaaabaGaaGOmaiabgwSixlaa % ikdaaeaacaaIXaGaeyyXICTaaG4maaaacqGHflY1daWcaaqaaiaais % dacqGHflY1caaI0aaabaGaaG4maiabgwSixlaaiwdaaaGaeyyXIC9a % aSaaaeaacaaI2aGaeyyXICTaaGOnaaqaaiaaiwdacqGHflY1caaI3a % aaaiabgwSixlablAciljabgwSixpaalaaabaGaaGOmaiaad6gacqGH % flY1caaIYaGaamOBaaqaaiaacIcacaaIYaGaamOBaiabgkHiTiaaig % dacaGGPaGaeyyXICTaaiikaiaaikdacaWGUbGaey4kaSIaaGymaiaa % cMcaaaGaeyyXICTaeSOjGSKaaiilaaaa!700E!EquationSource$$\frac{\pi }{2} = \frac{{2 \cdot 2}}{{1 \cdot 3}} \cdot \frac{{4 \cdot 4}}{{3 \cdot 5}} \cdot \frac{{6 \cdot 6}}{{5 \cdot 7}} \cdot \ldots \cdot \frac{{2n \cdot 2n}}{{(2n - 1) \cdot (2n + 1)}} \cdot \ldots,$$

(vgl. [Z], S. 104 u. S. 119). Aber erst L. Euler hat systematisch mit unendlichen Produkten gearbeitet und wichtige Produktentwicklungen aufgestellt; vgl. Kapitel 9 seiner Introductio. Die ersten Konvergenzkriterien rühren von Cauchy her, Cours d’Analyse, S. 562 ff. Ihren festen Platz in der Analysis fanden unendliche Produkte spätestens 1854 durch Weierstrass, [Wei], S. 172 ff.*)

Allgemeine Sätze über die Convergenz der unendlichen Producte sind zum grossen Theile bekannt (Weierstrass 1854).

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  1. Mathematisches Institut, Universität Münster, Einsteinstraße 62, D-48149, Münster, Deutschland

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Remmert, R. (1995). Unendliche Produkte holomorpher Funktionen. In: Funktionentheorie 2. Springer-Lehrbuch. Springer, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-662-07353-7_1

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