Elliptische Funktionen

Zusammenfassung

Historischer Ausgangspunkt der Theorie der elliptischen Funktionen waren elliptische Integrale, die ihren Namen daher erhielten, daß sie u. a. bei der Berechnung der Länge von Ellipsenbögen aufgetreten sind. Bereits seit 1718 (G. C. Fagnano) wurde ein spezielles elliptisches Integral

$$E\left( x \right): = \int\limits_0^x {\frac{{dt}}{{\sqrt {1 - {t^4}} }}} $$

detailliert untersucht. Dieses stellt im Intervall ]0, 1[ eine streng monoton wachsende Funktion dar. Man kann daher die Umkehrfunktion f betrachten. Nach einem Satz von N. H. Abel (1827) besitzt die Funktion f eine Fortsetzung als meromorphe Funktion in die gesamte komplexe Ebene. Neben einer offensichtlichen reellen Periode entdeckte Abel eine verborgene komplexe Periode. Die Funktion f erwies sich also als doppelt periodisch. Man nennt heute allgemein in der Ebene meromorphe Funktionen mit zwei unabhängigen Perioden auch elliptische Funktionen. Es stellte sich dann heraus, daß viele der über das elliptische Integral bekannten Sätze — wie z. B. das berühmte Eulersche Additionstheorem für elliptische Integrale — sich überraschend einfach aus funktionentheoretischen Eigenschaften der elliptischen Funktionen ableiten lassen. Dies führte K. Weierstrass dazu, den Spieß umzukehren. In seinen Vorlesungen im Wintersemester 1862/1863 gab er eine rein funktionentheoretische Einführung in die Theorie der elliptischen Funktionen. Im Mittelpunkt seines Aufbaus steht eine spezielle elliptische Funktion, die ℘-Funktion. Sie genügt einer Differentialgleichung, aus welcher hervorgeht, daß die Umkehrung der ℘-Funktion ein elliptisches Integral ist. Die Theorie der elliptischen Integrale erscheint somit am Ende des Aufbaus der elliptischen Funktionen als Nebenprodukt.