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Folgen und Reihen analytischer Funktionen, Residuensatz

  • Eberhard Freitag
  • Rolf Busam
Chapter
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Part of the Springer-Lehrbuch book series (SLB)

Zusammenfassung

Aus der reellen Analysis ist bekannt, daß die punktweise Konvergenz einer Funktionenfolge gewisse Pathologien aufweist. So sind z. B. Grenzfunktionen stetiger Funktionen nicht notwendig auch stetig, i. a. darf keine Vertauschung von Grenzprozessen stattfinden etc. Daher kommt man zu dem Begriff der gleichmäßigen Konvergenz, welcher bessere Stabilitätseigenschaften besitzt. Beispielsweise ist der Limes einer gleichmäßig konvergenten Folge stetiger Funktionen wieder stetig. Ein anderer fundamentaler Stabilitätssatz gilt für das (bestimmte) Integral:

Eine gleichmäßig konvergente Folge integrierbarer Funktionen konvergiert stets gegen eine integrierbare Funktion. Grenzwertbildung und Integration sind vertauschbar.

Die Differenzierbarkeit jedoch ist in der reellen Analysis nicht stabil gegenüber gleichmäßiger Konvergenz.

Entsprechende Stabilitätssätze sind komplizierter und erfordern auch Bedingungen an die Folge der Ableitungen.

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Copyright information

© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1993

Authors and Affiliations

  • Eberhard Freitag
    • 1
  • Rolf Busam
    • 1
  1. 1.Mathematisches InstitutUniversität HeidelbergHeidelbergDeutschland

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