Modulformen

Zusammenfassung

Wie die elliptischen Funktionen unter gewissen Selbstabbildungen von ℂ, nämlich den Translationen eines Gitters, in sich übergehen, so sind die Modulfunktionen unter geeigneten Selbstabbildungen der oberen Halbebene IH, nämlich den Modulsubstitutionen

$$\tau \mapsto {M_\tau }: = \frac{{c\tau + b}}{{c\tau + d}}mitM = \left( \begin{array}{l} a\quad b \\ c\quad d \\ \end{array} \right) \in \tau : = SL\left( {2;} \right)$$

(1)

invariant. Das wichtigste Beispiel einer solchen Funktion, die überdies auf H holomorph ist, ist die absolute Invariante j = j(τ), die wir bereits in 1.4.4 und in II.E.3 kennengelernt haben. Es wird sich herausstellen, daß man mit j alle Modulfunktionen beschreiben kann.