Maß und Integral

Zusammenfassung

In den Abschnitten 5.1 und 5.4 haben wir axiomatisch Maße für Strecken und Winkel eingeführt. Wir erweitern jetzt diese Maßbestimmungen, indem wir Maße auch für Flächen und für Kurvenstücke einführen. Damit sind wir bei einem der Urthemen der Geometrie. Das beginnt mit der Bestimmung von Grundstücksflächen und setzt sich fort auf die Untersuchung des Verhältnisses der Kreisfläche zum Umfang des Kreises. Die Quadratur des Kreises, worunter man wohl zunächst einfach die Inhaltsberechnung der Kreisfläche verstand und erst später die Frage nach der arithmetischen Natur der Zahl π, gehörte zu den Grundaufgaben der antiken Mathematik. Erst mit Leibniz (1646–1716) und Newton (1643–1727) münden die Bemühungen um die Berechnung spezieller Flächeninhalte und Kurvenstücke in eine systematische Theorie ein, deren Hauptbestandteil die Integration von Funktionen einer reellen Veränderlichen ist. Bis zu einer nach heutigen Begriffen befriedigenden Definition des Integrals dauerte es weitere 150 Jahre. Sie findet sich in der Habilitationsschrift von Riemann aus dem Jahre 1853. Man spricht heute vom Riemannschen Integral.