Konforme Abbildung ein- und mehrfach zusammenhängender Gebiete

Zusammenfassung

Die Gruppe der eineindeutigen und konformen Abbildungen der Vollebene auf sich selbst wird analytisch durch die Gesamtheit der linear gebrochenen Transformationen

$$ S\left( z \right) = \frac{{az + b}}{{cz + d}}\quad \left( {ad - bc \ne 0} \right)$$

(1)

bestimmt. Jede lineare Transformation vermittelt eine solche Abbildung, und umgekehrt reduziert sich jede Transformation t(z), welche eine derartige Abbildung vollzieht, auf die Form (1); denn t(z) ist dann regulär in jedem Punkt der z-Vollebene, mit Ausnahme eines einzigen Punktes z ₀, welcher dem Wert t = ∞ zugeordnet ist; als einzige Singularität hat t(z) somit einen Pol erster Ordnung, woraus nach einem elementaren funktionentheoretischen Satz folgt, daß sie eine rationale Funktion erster Ordnung ist.