Graphen in der Ebene

Zusammenfassung

Oft ist es von Vorteil, Graphen zu zeichnen. Wie Sie sehen, sind die meisten Graphen in diesem Buch durch eine Zeichnung angegeben (und nicht etwa als Liste der Ecken und Kanten). Doch bisher haben wir keine Eigenschaften von Graphen studiert, die mit ihren Zeichnungen zu tun haben. In diesem Kapitel wollen wir die Zeichnungen selbst genauer untersuchen. Unser Hauptinteresse gilt dabei jenen Graphen, die so in die Ebene gezeichnet werden können, dass sich keine Kanten kreuzen. Solche Graphen nennt man eben oder planar.

Aus den zahlreichen Bilder auf den vorangegangenen Seiten und aus der informellen Definition aus Abschnitt 3.1 haben Sie wahrscheinlich schon eine recht gute Vorstellung davon, was mit der Zeichnung eines Graphen gemeint ist. So eine Intuition ist ausreichend, wenn wir zeigen möchten, dass ein bestimmter Graph eben ist — wir müssen dann ja nur eine kreuzungsfreie Zeichnung angeben. Wenn wir aber einen wirklichen Beweis geben wollen, dass ein bestimmter Graph nicht eben ist, dann kommen wir ohne eine mathematische Definition von „Zeichnung“ nicht aus. Die gesamte moderne Mathematik fußt auf einigen wenigen grundlegenden Begriffen und Axiomen der Mengenlehre — zumindest versucht die große Mehrheit der Mathematiker sicherzustellen, dass es so ist. So modelliert man z.B. eine „Ebene“ als das kartesische Produkt ℝ×ℝ. Jede reelle Zahl kann man als eine gewisse Teilmenge der rationalen Zahlen definieren, die rationalen Zahlen kann man aus den natürlichen Zahlen aufbauen, und schließlich fasst man die natürlichen Zahlen als gewisse Mengen auf, die man aus der leeren Menge konstruiert. (In der „normalen“ Mathematik kommt das selten zum Tragen, aber wenn Sie in ein Buch über Grundlagen der Mathematik schauen, dann werden Sie das dort so finden.)