Die zweite Fundamentalform. Krümmung von Flächen

Zusammenfassung

Es sei wiederum f : U →E³ ein parametrisiertes Flächenstück. Wir verlangen von nun an, daß f von der Klasse C ² ist. x und y seien wiederum Parameter auf U. Der Einheitsnormalenvektor an f (U) ist dann durch

$$n: = \frac{{{f_x} \wedge {f_y}}}{{|{f_x} \wedge {f_y}|}}$$

gegeben. Wir bemerken, daß n nur unter orientierungserhaltenden Umparametrisierungen, also solchen mit det dϕ > 0, invariant ist. Ist dagegen ϕ orientierungsumkehrend, also det dϕ < 0, so hat der Einheitsnormalenvektor von f ∘ϕ das umgekehrte Vorzeichen wie derjenige von f. Diese Tatsache wird jedoch erst später, wenn wir zu globalen Betrachtungen übergehen, eine Rollen spielen.