Der Kotangens und der Herglotz-Trick

Zusammenfassung

Was ist die interessanteste Formel in der elementaren Funktionentheorie? In seinem wunderbaren Artikel [2], dessen Darstellung wir folgen, schlägt Jürgen Elstrodt als einen ersten Kandidaten die Partialbruchentwicklung des Kotangens vor:

$$\pi \cot \pi x = \frac{1}{x} + \sum\limits_{{n = 1}}^{\infty } {\left( {\frac{1}{{x + n}} + \frac{1}{{x - n}}} \right)} \quad (x \in \mathbb{R}\backslash \mathbb{Z}).$$