Mengen, Funktionen, und die Kontinuumshypothese

Zusammenfassung

Die Mengenlehre, begründet von Georg Cantor in der zweiten Hälfte des neunzehnten Jahrhunderts, hat die Mathematik vollkommen verändert. Die Mathematik, wie wir sie heute kennen, ist undenkbar ohne das Konzept einer Menge, oder wie David Hilbert sagte: „Niemand wird uns aus dem Paradies (der Mengenlehre) vertreiben, das Cantor für uns erschaffen hat.“ Einer der fundamentalen Begriffe von Cantor war die Mächtigkeit oder Kardinalität einer Menge M, bezeichnet mit | M |. Für endliche Mengen bereitet dies keine Schwierigkeiten: Wir zählen einfach die Anzahl der Elemente und sagen, dass M eine n-Menge ist, oder dass M die Mächtigkeit n hat, falls M genau n Elemente enthält. Also haben zwei endliche Mengen M und N die gleiche Größe, in Zeichen | M | = | N |, wenn sie dieselbe Anzahl von Elementen enthalten.