Drei Anwendungen der Eulerschen Polyederformel

Zusammenfassung

Ein Graph ist planar, wenn er in die Ebene ℝ² gezeichnet werden kann ohne dass sich Kanten kreuzen (oder, äquivalent dazu, auf die Kugeloberfläche). Wir sprechen von ebenen Graphen, wenn eine solche Zeichnung schon gegeben ist. Die Zeichnung zerlegt dann die Ebene oder Sphäre in eine endliche Anzahl von zusammenhängenden Gebieten, wobei wir das äußere (unbeschränkte) Gebiet mitzählen. Die Eulersche „Polyederformel“ liefert eine Beziehung zwischen der Anzahl der Ecken, Kanten und Gebiete, die für jeden ebenen Graphen gültig ist. Euler hat das Resultat zuerst in einem Brief an seinen Freund Goldbach 1750 erwähnt, aber er hatte damals keinen vollständigen Beweis dafür. Von den vielen Beweisen der Eulerschen Formel präsentieren wir hier einen hübschen „selbstdualen“, der ohne Induktion auskommt. Er geht auf die „Geometrie der Lage“ von Karl Georg Christian von Staudt (1847) zurück.