Reihen

Zusammenfassung

Ist (a _k ) eine Folge von Zahlen oder Vektoren, so heißt der Ausdruck

$$ \sum\nolimits_{k = 0}^\infty {{a_k}} $$

((1))

eine Reihe, die einzelnen a _k heißen die Glieder der Reihe. Es ist natürlich unmöglich, unendlich viele Additionen wirklich auszuführen. Man kann aber die Folge (s _n ) der endlichen Partialsummen

$$ {s_n}: = \sum\nolimits_k^n {{0^{{a_k}}}} $$

betrachten und das Verhalten dieser Folge untersuchen. Existiert der (eigentliche) Grenzwert

$$ \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {s_n} = :s $$

, so heißt die Reihe (1) konvergent und s die Summe der Reihe. Der Ausdruck (1) bezeichnet dann per definitionem auch diesen Grenzwert:

$$ \sum\nolimits_{k = 0}^\infty {{a_k}: = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sum\nolimits_{k - 0}^n {{a_k}} } $$

. Besitzt die Folge (s _n ) keinen eigentlichen Grenzwert, so heißt die Reihe (1) divergent.