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Analysis I pp 155-177 | Cite as

Differentialrechnung I

  • Christian Blatter
Part of the Heidelberger Taschenbücher book series (HTB, volume 151)

Zusammenfassung

Wir betrachten ein festes Intervall I ⊂ ℝ und eine Funktion f : I → ℝ. Sind x 0, x 1 zwei verschiedene Punkte von I, so heißt der Ausdruck
$$ \frac{{f({x_1}) - f({x_0})}} {{{x_1} - {x_0}}} = :\frac{{\Delta f}} {{\Delta x}} $$
ein Differenzenquotient von f; sein Wert ist gleich der Steigung der Sekante, die die beiden zu x 0 und x 1 gehörigen Punkte des Graphen von f miteinander verbindet (siehe die Fig. 101.1). Existiert nun für ein x 0I der Grenzwert
$$ \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{f(x) - f({x_0})}} {{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{h \to \infty } \frac{{f({x_0} + h) - f({x_0})}} {h} $$
(1)
, so ist f im Punkt x 0 differenzierbar; der Grenzwert (1) heißt Differentialquotient oder Ableitung von f im Punkt x 0 und wird üblicherweise mit f’ (x 0) oder mit \( {\left. {\frac{{df}}{{dx}}} \right|_{x = {x_o}}} \) bezeichnet. Geometrisch läßt sich die Ableitung als Steigung der Tangente an den Graphen von f im Punkt (x 0, f(x 0)) interpretieren. Gelegentlich betrachten wir auch die einseitigen Grenzwerte
$$ f'({x_0} + ): = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty + } \frac{{f(x) - f({x_0})}} {{x - {x_0}}},\quad f'({x_0} - ): = \mathop {\lim }\limits_{x \to {\infty ^ - }} \frac{{f(x) - f({x_0})}} {{x - {x_0}}} $$
, die als rechtsseitige bzw. linksseitige Ableitung von f im Punkt x 0 bezeichnet werden.

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Copyright information

© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1977

Authors and Affiliations

  • Christian Blatter
    • 1
  1. 1.Eidgenössische Technische HochschuleZürichSchweiz

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