Differentialrechnung I

Zusammenfassung

Wir betrachten ein festes Intervall I ⊂ ℝ und eine Funktion f : I → ℝ. Sind x ₀, x ₁ zwei verschiedene Punkte von I, so heißt der Ausdruck

$$ \frac{{f({x_1}) - f({x_0})}} {{{x_1} - {x_0}}} = :\frac{{\Delta f}} {{\Delta x}} $$

ein Differenzenquotient von f; sein Wert ist gleich der Steigung der Sekante, die die beiden zu x ₀ und x ₁ gehörigen Punkte des Graphen von f miteinander verbindet (siehe die Fig. 101.1). Existiert nun für ein x ₀ ∈ I der Grenzwert

$$ \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{f(x) - f({x_0})}} {{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{h \to \infty } \frac{{f({x_0} + h) - f({x_0})}} {h} $$

((1))

, so ist f im Punkt x ₀ differenzierbar; der Grenzwert (1) heißt Differentialquotient oder Ableitung von f im Punkt x ₀ und wird üblicherweise mit f’ (x ₀) oder mit ${\left. {\frac{{df}}{{dx}}} \right|_{x = {x_o}}}$ bezeichnet. Geometrisch läßt sich die Ableitung als Steigung der Tangente an den Graphen von f im Punkt (x ₀, f(x ₀)) interpretieren. Gelegentlich betrachten wir auch die einseitigen Grenzwerte

$$ f'({x_0} + ): = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty + } \frac{{f(x) - f({x_0})}} {{x - {x_0}}},\quad f'({x_0} - ): = \mathop {\lim }\limits_{x \to {\infty ^ - }} \frac{{f(x) - f({x_0})}} {{x - {x_0}}} $$

, die als rechtsseitige bzw. linksseitige Ableitung von f im Punkt x ₀ bezeichnet werden.