Anwendungen

Zusammenfassung

Der Hauptsatz, das Fundament der Infinitesimalrechnung, hat eine theoretische und eine praktische Seite. Zur ersteren gehört, daß man aus den Differentialen von Größen (heute sagt man, aus der Ableitung) diese Größen darstellen kann. Darauf beruht letztendlich unsere exakte Naturwissenschaft, welche die Naturgesetze als Beziehungen zwischen Differentialen, als Differentialgleichungen, formuliert. Zur praktischen Seite gehört, daß uns ein wirkungsvolles Hilfsmittel zur Lösung mannigfacher Quadraturprobleme an die Hand gegeben wird. Bereits der 23jährige Newton hat beide Aspekte klar erkannt. In seinem „October 1666 tract” findet man Dutzende von vollzogenen Quadraturen und Methoden zur Lösung solcher Aufgaben. Wir wenden uns zunächst diesem algorithmischen Teil zu, der „Technik des Integrierens”. Es folgen dann Anwendungen über Flächen, Volumina, Schwerpunkte, In einem zweiten Teil wird die Differentialrechnung herangezogen, um das Änderungsverhalten von Funktionen und Kurven zu studieren. Die wichtigsten Stichworte sind Monotonie, Maxima und Minima, Konvexität, Kurvendiskussion (11.15–11.20). Als Anwendung werden sodann eine Reihe von klassischen Ungleichungen (11.21–11.25) behandelt. Das Kontraktionsprinzip und seine Anwendung im Newton-Verfahren beschließt den Paragraphen.