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Algebra pp 202-224 | Cite as

Fortführung der Gruppentheorie

  • Siegfried Bosch
Chapter
Part of the Springer-Lehrbuch book series (SLB)

Zusammenfassung

Wir wollen an dieser Stelle noch einmal auf das Problem der Lösung algebraischer Gleichungen zurückkommen. Sei also fK[X] ein normiertes Polynom mit Koeffizienten aus einem Körper K, und sei L ein Zerfällungskörper von f, wobei wir L/K als separabel voraussetzen wollen. Wenn wir die algebraische Gleichung f(x) = 0 durch Radikale auflösen möchten, so bedeutet dies, daß wir eine Körperkette des Typs
$$K = K_0 \varsubsetneq K_1 \varsubsetneq \ldots \varsubsetneq K_r $$
(*)
mit LK r finden müssen, wobei K i+1 jeweils aus K i durch Adjunktion einer gewissen Wurzel eines Elementes aus K i entsteht. Denn genau dann können wir die Lösungen von f(x) = 0, welche die Erweiterung L/K ja erzeugen, mittels rationaler Operationen und mittels “Wurzelziehen” aus den Elementen von K gewinnen. Vereinfachend wollen wir im folgenden stets annehmen, daß die Erweiterung K r /K galoissch ist. Dann ist eine Körperkette des Typs (*) aufgrund des Hauptsatzes der Galois-Theorie 4.1/6 zu einer Kette von Untergruppen
$$Gal\left( {{{K_r } \mathord{\left/ {\vphantom {{K_r } K}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} K}} \right) = G_0 \varsupsetneq G_1 \varsupsetneq \ldots \varsupsetneq G_r = \left\{ 1 \right\}$$
(**)
äquivalent. Zudem haben wir in 4.5 und 4.8 Erweiterungen, die durch Adjunktion n-ter Wurzeln entstehen, Galois-theoretisch charakterisiert. Wenn wir uns auf Körper der Charakteristik 0 beschränken und annehmen, daß K genügend viele Einheitswurzeln enthält, so folgt mit 4.8/3 und 4.1/6, daß eine Körperkette des Typs (*) genau dann durch sukzessive Adjunktion von Wurzeln entsteht, wenn die zugehörige Kette (**) die folgenden Eigenschaften besitzt: G i+1 ist jeweils ein Normalteiler in G i und die Restklassengruppen G i+1/G i sind zyklisch. Genauer werden wir in 6.1 sehen, daß die Gleichung f(x) = 0 dann und nur dann durch Radikale auflösbar ist, wenn es eine Kette (**) mit den genannten Eigenschaften für die Galois-Gruppe Gal(L/K) gibt.

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Copyright information

© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1993

Authors and Affiliations

  • Siegfried Bosch
    • 1
  1. 1.Mathematisches InstitutWestfälische Wilhelms-UniversitätMünsterDeutschland

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