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Algebra pp 130-201 | Cite as

Galois-Theorie

  • Siegfried Bosch
Part of the Springer-Lehrbuch book series (SLB)

Zusammenfassung

In Kapitel 3 haben wir gesehen, daß zu einem Körper K stets ein algebraischer Abschluß \(\overline K \) existiert und daß dieser bis auf K -Isomorphie eindeutig bestimmt ist. Gehen wir daher von einer algebraischen Gleichung f(x) = 0 mit einem nicht-konstanten Polynom fK[X] aus, so zerfällt f über \(\overline K \) vollständig in Linearfaktoren, und man kann sagen, daß \(\overline K \) “sämtliche” Lösungen der algebraischen Gleichung f(x) = 0 enthält. Der Teilkörper L\(\overline K \), der über K von allen diesen Lösungen erzeugt wird, ist ein Zerfällungskörper von f, wobei die Erweiterung L/K endlich sowie gemäß 3.5/5 normal ist. Ersatzweise können wir einen Zerfällungskörper L zu f auch mit Hilfe des Verfahrens von Kronecker konstruieren, indem wir sukzessive alle Lösungen von f(x) = 0 zu K adjungieren. Die Struktur der Erweiterung L/K ist zu klären, wenn man Aussagen über die “Natur” der Lösungen von f(x) = 0 machen möchte, z. B. wenn man die Gleichung durch Radikale auflösen möchte.

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Copyright information

© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1993

Authors and Affiliations

  • Siegfried Bosch
    • 1
  1. 1.Mathematisches InstitutWestfälische Wilhelms-UniversitätMünsterDeutschland

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