Fortführung der Gruppentheorie

Zusammenfassung

Wir wollen an dieser Stelle noch einmal auf das Problem der Lösung algebraischer Gleichungen zurückkommen Sei also f ∈ K[X] ein normiertes Polynom mit Koeffizienten aus einem Körper K, und sei L ein Zerfällungskörper von f, wobei wir L/K als separabel voraussetzen wollen. Wenn wir die algebraische Gleichung f(x) = 0 durch Radikale auflösen möchten, so bedeutet dies, daß wir eine Körperkette des Typs

$$(*)\quad \quad K = {K_0}\mathop \subset \limits_{\not - } {K_1}\mathop \subset \limits_{\not - } .\;.\;.\;\mathop \subset \limits_{\not - } {K_r}$$

mit L ⊂ K _r finden müssen, wobei K _i+1 jeweils aus K _i durch Adjunktion einer gewissen Wurzel eines Elementes aus K _i entsteht. Denn genau dann können wir die Lösungen von f(x) = 0, welche die Erweiterung L/K ja erzeugen, mittels rationaler Operationen und mittels „Wurzelziehen“ aus den Elementen von K gewinnen. Vereinfachend wollen wir im folgenden stets annehmen, daß die Erweiterung K _r /K galoissch ist. Dann ist eine Körperkette des Typs (*) aufgrund des Hauptsatzes der Galois-Theorie 4.1/6 zu einer Kette von Untergruppen

$$(**)\quad \quad Gal({K_r}/K) = {G_0}\mathop \supset \limits_{\not - } {G_1}\mathop \supset \limits_{\not - } ...\mathop \supset \limits_{\not - } {G_r} = \left\{ 1 \right\}$$

äquivalent. Zudem haben wir in 4.5 und 4.8 Erweiterungen, die durch Adjunktion n-ter Wurzeln entstehen, Galois-theoretisch charakterisiert. Wenn wir uns auf Körper der Charakteristik 0 beschränken und annehmen, daß K genügend viele Einheitswurzeln enthält, so folgt mit 4.8/3 und 4.1/6, daß eine Körperkette des Typs (*) genau dann durch sukzessive Adjunktion von Wurzeln entsteht, wenn die zugehörige Kette (**) die folgenden Eigenschaften besitzt: G _i+1 ist jeweils ein Normalteiler in G _i und die Restklassengruppen G _i+1 /G _i sind zyklisch. Genauer werden wir in 6.1 sehen, daß die Gleichung f(x) = 0 dann und nur dann durch Radikale auflösbar ist, wenn es eine Kette (**) mit den genannten Eigenschaften für die Galois-Gruppe Gal(L/K) gibt.