Fortführung der Gruppentheorie

Zusammenfassung

Wir wollen an dieser Stelle noch einmal auf das Problem der Lösung algebraischer Gleichungen zurückkommen. Sei also f ∈ K [X] ein normiertes Polynom mit Koeffizienten aus einem Körper K, und sei L ein Zerfällungskörper von f, wobei wir L/K als separabel voraussetzen wollen. Wenn wir die algebraische Gleichung f(x) = 0 durch Radikale auflösen möchten, so bedeutet dies, dass wir eine Körperkette des Typs

$$K = {K_0} \subseteq {K_1} \subseteq ... \subseteq {K_r}$$

(*)

mit L ⊂ K _r finden müssen, wobei K _{i +1} jeweils aus K _i durch Adjunktion einer gewissen Wurzel eines Elementes aus K _i entsteht. Denn genau dann können wir die Lösungen von f(x) = 0, welche die Erweiterung L/K ja erzeugen, mittels rationaler Operationen und mittels „Wurzelziehen“ aus den Elementen von K gewinnen. Vereinfachend wollen wir im Folgenden stets annehmen, dass die Erweiterung K _r /K galoissch ist. Dann ist eine Körperkette des Typs (*) aufgrund des Hauptsatzes der Galois-Theorie 4.1/6 zu einer Kette von Untergruppen

$$Gal\left( {{K_r}/K} \right) = {G_0} \supseteq {G_1} \supseteq \ldots \supseteq {G_r} = \left\{ 1 \right\}$$

(**)

äquivalent. Zudem haben wir in 4.5 und 4.8 Erweiterungen, die durch Adjunktion n-ter Wurzeln entstehen, Galois-theoretisch charakterisiert. Wenn wir uns auf Körper der Charakteristik 0 beschränken und annehmen, dass K genügend viele Einheitswurzeln enthält, so folgt mit 4.8/3 und 4.1/6, dass eine Körperkette des Typs (*) genau dann durch sukzessive Adjunktion von Wurzeln entsteht, wenn die zugehörige Kette (**) die folgenden Eigenschaften besitzt: G _{i +1} ist jeweils ein Normalteiler in G _i und die Restklassengruppen G _i /G _{i +1} sind zyklisch. Genauer werden wir in 6.1 sehen, dass die Gleichung f(x) = 0 dann und nur dann durch Radikale auflösbar ist, wenn es eine Kette (**) mit den genannten Eigenschaften für die Galois-Gruppe Gal(L/K) gibt.