Galois-Theorie

Zusammenfassung

In Kapitel 3 haben wir gesehen, dass zu einem Körper K stets ein algebraischer Abschluss $\bar K$ existiert und dass dieser bis auf K-Isomorphie eindeutig bestimmt ist. Gehen wir daher von einer algebraischen Gleichung f(x) = 0 mit einem nicht-konstanten Polynom f ∈ K[X] aus, so zerfällt f über $\bar K$ vollständig in Linearfaktoren, und man kann sagen, dass $\bar K$ „sämtliche“ Lösungen der algebraischen Gleichung f(x) = 0 enthält. Der Teilkörper L ⊂ $\bar K$ , der über K von allen diesen Lösungen erzeugt wird, ist ein Zerfällungskörper von f, wobei die Erweiterung L/K endlich sowie gemäß 3.5/5 normal ist. Ersatzweise können wir einen Zerfällungskörper L zu f auch mit Hilfe des Verfahrens von Kronecker konstruieren, indem wir sukzessive alle Lösungen von f(x) = 0 zu K adjungieren. Die Struktur der Erweiterung L/K ist zu klären, wenn man Aussagen über die „Natur“ der Lösungen von f(x) = 0 machen möchte, z. B. wenn man die Gleichung durch Radikale auflösen möchte.