Zusammenfassung
Vorliegende Note hat den Zweck, die von W. Pauli gegebene Beschreibung des Drehelektrons* zur Erklärung gewisser spektroskopischer Regelmäßigkeiten heranzuziehen; mit einer Methode die bereits von einem der Verfasser angewandt wurde, um einen Teil der spektroskopischen Erfahrungen aus der Quantenmechanik (ohne Drehelektron!) herzuleiten**. Diese Methode beruht auf der Ausnutzung der elementaren Symmetrieeigenschaften aller atomaren Systeme, nämlich der Gleichheit aller Elektronen und der Gleichwertigkeit aller Richtungen des Raumes (diese letztere wird hauptsächlich benutzt werden); sie findet in der sogenannten Darstellungstheorie ihr adäquates mathematisches Werkzeug.
Die kinematischen Eigenschaften beliebiger Systeme von Drehelektronen werden aus dem Paulischen Bilde des Spins (ohne weitere Annahmen) mit Hilfe der Dirac-Jordansehen Transformationstheorie hergeleitet. — Die Fortsetzung soll die Anwendung auf die optischen Spektren bringen.
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Literatur
ZS. f. Phys. 43, 601, 1927.
E. Wigner, ebenda 43, 624, 1927; 45, 601, 1927.
Vgl. Anmerkung 1, sowie P. Jordan, ZS. f. Phys. 44, 21–25, 1927, § 6.
ZS. f. Phys. 35, 557, 1926, § 4.
P. A. M. Dirac, Proc. Roy. Soo. 112, 661, 1926 und 113, 621–641, 1927; P. Jordan, ZS. f. Phys. 40, 809, 1927 (I) und 44, 1, 1927 (H). Gewisse Teile dieser Theorie sind schon bei F. London, ZS. f. Phys. 87, 915, 1926 und 40, 193, 1926 zu finden. Vgl. auch J. v. Neumann, Gött. Nachr., Sitzung vom 20. Mai 1927. — Der physikalische Sinn der Theorie tritt bei W. Heisenberg, ZS. f. Phys. 43, 172, 1927, am klarsten hervor.
Die Frage, ob zwei Messungen simultan ausführbar sind (ohne sich gegenseitig zu stören) oder nicht, ist bekanntlich in der Quantenmechanik fundamental.
Auch ist die Bestimmung dieses Teiles der Wellenfunktion mehrdeutig, so- lange nicht weitere (über die Wahl des „Koordinatensystems“ hinausgehende) Festsetzungen getroffen werden. Vgl. P. Jordan, 1. c. (If) und J. v. Neumann, 1. c.
Linear ist ein Operator T (der die Funktion f in die Funktion Tf iiberführt), wenn T(af) = aTf, T(f+g)=Tf+Tg (a evine Konstante, f,g „Wellenfunktionen“) ist; zur Symmetrie vgl. das erste Zitat von Jordan oder auch glas von v. Neumann in Anmerkung **, S. 204. Wie die Kenntnis des Operators T die Statistik der zugehörigen Grübe vermittelt, sei hier nicht erörtert, vgl. näheres a. a. O.
Wobei natürlich beliebige potentielle und Wechselwirkungsenergien vorhanden sein dürfen: wir treiben zunächst nur Kinematik.
Wir normieren der Einfachheit halber die Spins mit s = ±1 (statt ±hm/4πe).
Man beachte, daß P (91) bloß bis auf einen konstanten Faktor vom Absolutwert 1 definiert ist!
Das innere Produkt von zwei „Wellenfunktionen“ f und g ist das über den ganzen „Zustandsraum“ erstreckte Integral des Produktes von f mit dem komplexkonjugierten von g. Es werde mit (f, g) bezeichnet.
Orthogonal heißt ein linearer Operator, wenn er das innere Produkt invariant läßt: (f, g) _ (0 f, 0g). Man beachte, daß P *- P (91) erstens kein eindeutiger Operator ist (da P (91) bloß bis auf einen konstanten Faktor Sinn hat) und zweitens nicht linear sein müßte.
Man wähle nämlich ein vollständiges normiertes Orthogonalsystem 991, 992,… aus, dann sind die 991(9i), 972 (91),… vollständig und orthogonal und können normiert gewählt werden. Weiter schließt man unschwer aus der Invarianz des Absolutwertquadrates des inneren Produktes: wenn = al9’1+a2r2+…, a/’ (9) = bi q’1 (91)+b2502(ER)+… ist, so ist 1 al I = 1b11, 1 a.2 ! = 1b21,…; für ein ‘p können wir also (durch geeignete Wahl der P1 (9i), 972 (91),…, unbeschadet ihrer Normierung) al = b1, a2 = b2,… machen, und zwar seien alle 1 an 1 > O. Durch Betrachten der übrigen = aiq’1+a;P2+•••’ Y (IR) = biPl(9)+bsP2(9)+ zeigt man nunmehr leicht, daß stets (wenn yp’ (91) mit einer geeigneten Konstanten multipliziert wird) ai = bi, a; = bâ,… oder ai = bi, aâ = b;,… ist. Das ist aber unsere Behauptung. Hierdurch ist auch gezeigt, daß O wirklich bis auf einen konstanten Faktor eindeutig bestimmt ist.
Wenn H der Energieoperator ist, so variiert die Wellenfunktion Pt (t ist die Zeit) nach Schrödinger gemäß der Differentialgleichung h 2gri t9’t=HPt. Hieraus folgt sofort für Pt (R), je nachdem, ob gilt P (ER) = 09199 oder = 091T h 2 n i t Pt (9i) = H’ Pt (91), H’ = 0H01 bzw. = — 091R- 091— 1 Also entspricht der Energie im um 91 verdrehten Raume der Operator H’. H’ hat im ersten Falle offenbar dieselben Eigenwerte wie H, im zweiten entgegengesetzte: daher scheidet der letztere aus.
Es ist jedenfalls V81,…, 8fL 11…., /„=±1 wobei die A8`), 8n; tl,, in bloß von 91 und sl,…, sn; t1,…, tn abhängige, auf,,spinfreie Wellenfunktionen“ anwendbare Operatoren sind. Da diese mit allen j“ vertauschbar sein müssen, sind sie alle von der Form a. 1, woraus die Behauptung folgt.
Im komplexen Sinne:
Man beachte, daß, im Gegensatz zur zitierten Arbeit Wigners, eine mehrdeutige Darstellung herausgekommen ist. Dies wird es uns ermöglichen, die geradzahligen Multiplizitäten der Atomspektren zu erfassen — die eindeutigen Darstellungen der Drehgruppe haben stets ungerade Dimensionszahl und führen nur zu ungeraden Multiplizitäten (vgl. a. a. O.).
Da 97 in 091 yf übergeht, ist jeder Operator T durch 091 T 0 j1 zu ersetzen.
Vgl. z. B. H. Weyl, Math. ZS. (2) 24, 342–353, 1925, insbesondere Satz 6, S. 353. Freilich ist für unsere gegenwärtigen Zwecke viel weniger als Weyls tief liegende Resultate notwendig. Eine Zusammenstellung der für uns wichtigen Begriffe findet sich übrigens bei Wigner, a. a. O., auf S. 628–631. Der besseren Übersicht halber sei hier noch erwähnt: Die dreidimensionale Drehgruppe hat irreduzible Darstellungen aller Grade l = 1, 2,…, und zwar für jedes q genau eine. Diese ist ein-bzw. zweideutig, wenn q ungerade bzw. gerade ist. Wenn a,,B, y die Eulerschen Drehwinkel der Drehung 91 sind (vgl. Anmerkung ** unten), so lautet das Element in der vten Zeile und µten Spalte (v, µ = — q -}- 1, —q-}-3… q-3, q-1) a iy2 e eiµ wo fr. (fi) ein homogenes Polynom q — 1 ten Grades in cos 1/2 fi und sin 1/2 fi ist. (Die Bezeichnung ist hier etwas anders gewählt als 1. c.)
Die Bedeutung der Eulerschen Drehwinkel ersieht man aus Fig. 1 bei Wigner, ZS. f. Phys. 43, 639, 1927, Nr. 9/10 (9i führt den Quadranten in über).
Dies ist im wesentlichen die Umschreibung dafür, daß die Lage des Elektrons genau bekannt ist.
Es ist vielleicht nicht ganz uninteressant, zu bemerken, daß im Falle des Spins auch der komplexe Teil der,,Wahrscheinlichkeitsamplitude“ eine unmittelbar anschauliche Deutung zuläßt. Es sei nämlich ~1 konstant, und wir betrachten P-1 die Wahrscheinlichkeit W dafür, daß der Spin in der + 7,-Richtung = 1 ist. 9’9 Diese ist, wie man leicht berechnet, W = 1, und sie steht mit dem I9’112+I“-112 Cosinus w des Winkels zwischen + Z Achse und Spinrichtung, w = 199112 — 9,-1I2, Iic1I2 + I9°-1I2 ll’=2w-I-1. In beiden kommt nur ~1 zum Ausdruck. Der Arcus hingegen ist, wie man P-1 9’-1 sich leicht überzeugt, gleich dem Winkel zwischen der + X-Achse und der Projektion der Spinrichtung in der X Y-Ebene. Explanation of Some Properties of Spectra of the Spinning * Wir müßten hier, und immer wieder im folgenden, über alle räumlichen Koordinaten integrieren; wir schreiben dafür kurz S.
Dann geht die Zeile u durch eine andere irreducible Darstellung in (Ju ials die Spalte y, so daß Jets) außerhalb der irreduziblen Darstellung liegt und verschwindet.
Das heißt: Um die Z-Achse mit a, um die X-Achse mit,B, um die Z Achse mit y; das ist ja die Definition der Eul ersehen Drehwinkel.
Die Integration über alle räumlichen Koordinaten werde durch (, die über diejenigen der n —1 ersten Elektronen durch f* andedeutet.
Dieser Schluß gelingt in der Tat mühelos für n > 2, für n = 2 wäre aber zunächst auch die Möglichkeit Eu1, 1 = P-1,-1= 0, #1,-1= ± 2, P-1, 1 = 22 zu erwägen. Indessen folgte hieraus für n = 3 mit der vorhin benutzten Methode f`1, —1, — Eu_ 1, 1, 1 = — P-1,1 = ± 4, und durch zykliche Vertauschung der drei Indizes P-1,1,1—u1,1,-1 = ±4, L1,1,-1—`Ll,-1,1 = ±4 (diese drei ± sind voneinander unabhängig). Durch Addition wird hieraus 0 = ± 4 ± 4 ± 4, was offenkundig unmöglich ist.
Aus der Formel für 1a89)t1 folgt: Explanation of Some Properties of Spectra of the Spinning Electron. wobei i bzw. j die Zahl der y mit s,. = t,, bzw. s,, $ t,, ist und bzw. — zu wählen ist, je nachdem für eine gerade oder ungerade Anzahl von y s,. = 1, t,. _ — 1 gilt. (Eine Verwechslung der imaginären Einheit i mit unserem i ist wohl nicht zu befürchten.)
Für s = s1,.. •, s„ ist —s = — Si’ • • •, — sn; weiter setzen wir aFt = 1 für s1 = t1,..•, s,l— tn, sonst = O.
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von Neumann, J., Wigner, E.P. (1993). Zur Erklärung einiger Eigenschaften der Spektren aus der Quantenmechanik des Drehelektrons. Erster Teil. In: Wightman, A.S. (eds) The Collected Works of Eugene Paul Wigner. The Collected Works of Eugene Paul Wigner, vol A / 1. Springer, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-662-02781-3_8
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DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-662-02781-3_8
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