Die Hypothese der Endlichkeit der Welt

Zusammenfassung

Die Erkenntnis, daß unser Raum kein euklidischer, sondern ein (allerdings schwach) gekrümmter ist, eröffnet eine neue Möglichkeit, uns eine Vorstellung vom Weltgebäude zu machen. Solange wir die-Überzeugung hatten, daß der Raum euklidisch sei, mußten wir notwendigerweise annehmen, daß unser Weltall unendlich groß sei. Nun sind wir aber nicht mehr gezwungen daran zu glauben. Wir können uns das am besten wieder an einem zweidimensionalen Beispiel klarmachen. Denken wir noch einmal an die zweidimensionalen Menschen auf der glatten Erdkugel (Kapitel XVI) und stellen wir uns vor, sie bewohnten bloß einen so kleinen Teil der Kugel, daß ihre Messungen ihnen das Vorhandensein der Krümmung noch nicht verraten hätte, so daß sie also glauben müßten, in einer Ebene zu leben. Wenn man sie dann gefragt hätte, ob die Fläche der Welt endlich oder unendlich sei, so hätten sie mit Überzeugung geantwortet: „Sie muß unendlich sein; unsere Vorstellung gestattet uns nicht, eine letzte Begrenzung anzunehmen; hinter jeder Begrenzung muß sich die Weltfläche immer weiter erstrecken.“ Wären sie dann später durch Messungen oder durch Erdumseglungen zur Erkenntnis von der Kugelgestalt der Erde gekommen, so hätten sie etwas gelernt, was ihnen früher vollkommen unvorstellbar war, nämlich die geometrische Tatsache, daß eine Fläche endlich sein kann, ohne eine Begrenzung zu besitzen. Dies ist ja bei einer Kugelfläche der Fall; sie ist nirgends begrenzt; man kann auf ihr in jeder beliebigen Richtung beliebig lange fortwandern, ohne zu einer Grenze zu kommen — und doch ist sie nicht unendlich. Man bezeichnet solche Flächen, die unbegrenzt aber nicht unendlich sind, als geschlossene Flächen. Man kann sich außer der Kugelfläche noch alle möglichen anderen Flächen vorstellen, die diese Eigenschaft haben, z. B. Eiflächen, Ringflächen usw. Nicht geschlossene Flächen sind hingegen: Die Ebenen, Zylinderflächen, Kegelflächen, Paraboloide usw.*). Nur gekrümmte Flächen können geschlossen sein; eine Ebene hat entweder einen Rand oder sie verläuft ins Unendliche. Die Geometrie lehrt nun (und das war schon lange vor Einstein bekannt), daß dasselbe auch für drei- oder mehrdimensionale Räume gilt. Ein gekrümmter Raum kann also geschlossen sein, d. h. er kann endlich sein ohne eine Begrenzung zu haben.