Abstract
Ziel dieses Kapitels ist, über die Struktur der kommutativen Körper, über ihre einfachsten Unterkörper und Erweiterungskörper eine erste Übersicht zu gewinnen. Indessen gelten einige der folgenden Untersuchungen (§§ 33, 34, 36, 37) auch für Schiefkörper.
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References
Im nichtkommutativen Fall ist dies falsch, weil die Variable x immer als mit dem Koeffizienten c>k vertauschbar angenommen wurde, die Größe es aber nicht zu sein braucht. Nur wenn speziell mit allen Elementen von Δ vertauschbar ist, gelten alle Betrachtungen dieses Paragraphen.
Die Bezeichnung wird hauptsächlich auf algebraische Größen angewandt. Transzendente Größen desselben Körpers sind stets untereinander konjugiert.
Den höchsten Koeffizienten von f(x) wollen wir hier und im folgenden gleich 1 annehmen, was offenbar nichts ausmacht.
Der hier gegebene Existenzbeweis des Zerfällungskörpers impliziert nicht die effektive Konstruierbarkeit in endlich vielen Schritten. Siehe über diese Fragen G. Hermann, Math. Ann. Bd. 95 (1926) S. 736–788 und
B.L.V.D. Waerden, Math. Ann. Bd. 102 (1930), S. 738.
Man kann die Definition auch so fassen: Eine algebraische Erweiterung Σ ist normal, wenn Σ zugleich mit einer Größe α auch alle zu α konjugierten Größen (irgendeines umfassenden Körpers) enthält. Die zu α konjugierten Größen eines beliebigen umfassenden Körpers sind nämlich nichts anderes als die Wurzeln desselben irreduziblen Polynoms g(x), dessen Nullstelle α ist, und der Umfassungskörper kann immer so gewählt werden, daß in ihm g(x) ganz zerfällt. Diese Definition ist aber hier vermieden worden, da sie auf die Gesamtheit aller umfassenden Körper Bezug nimmt, was (abgesehen von der mengentheoretischen Bedenklichkeit dieser Gesamtheit, die sich wohl beseitigen ließe) weniger schön erscheint, da es sich in Wirklichkeit um eine Eigenschaft von Σ und Δ allein handelt.
Nach § 21, Aufgabe 4 ist φ (h) zugleich die Anzahl der zu h teilerfremden natürlichen Zahlen h. Man nennt φ(h) die Evlersche φ-Funktion.
a|b (sprich: a teilt b) bedeutet: a ist Teiler von b.
Der Ausdruck „von erster Art“ stammt von Steinitz. Ich schlage das Wort „separabel“ vor, das in mehr suggestiver Weise zum Ausdruck bringen soll, daß alle Nullstellen von f(x) getrennt liegen.
Ob auch α1 und damit der ganze Körper separabel ist, ist gleichgültig.
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© 1960 Springer-Verlag Berlin Heidelberg
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van der Waerden, B.L. (1960). Körpertheorie. In: van der Waerden, B.L. (eds) Algebra. Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol 33. Springer, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-662-01513-1_6
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