Das Bändermodell

  • Eberhard Spenke

Zusammenfassung

Das Bändermodell entsteht auf Grund von näherungsverfahren, die eine Übertragung der von Hund und von Mulliken für gewöhnliche Moleküle entwickelten Methode auf das Riesenmolekül des Kristalls darstellen. Streng genommen handelt es sich bei einem Kristall, bestehend aus N Kernen mit je m Elektronen um ein (N + N • m)-Körperproblem. Sieht man zunächst einmal von den Bewegungsmöglichkeiten der N Kerne ab, so reduziert sich die Aufgabe auf ein N • m-Körperproblem, dessen Lösung nun wieder aus Kombinationen der verschiedenen Lösungen eines Einelektronenproblems aufgebaut wird. Der gemeinsame charakteristische Zug des Verfahrens von Hund und von Mulliken einerseits und des Bändermodells andrerseits besteht in der Art des gewählten Einelektronenproblems und in der Art, wie die verschiedenen Lösungen dieses Einelektronenproblems kombiniert werden.

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Literatur

  1. 1.
    Siehe Abb. VI 2.1.Google Scholar
  2. 1.
    Slater, J. C.: Phys. Rev. Bd. 45 (1934) S. 794 (Natrium).MATHCrossRefGoogle Scholar
  3. 1a.
    Millman, J.: Phys. Rev. Bd. 47 (1935) S. 286 (Lithium).CrossRefGoogle Scholar
  4. 1b.
    Seitz, F.: Phys. Rev. Bd. 47 (1935) S. 400 (Lithium).MATHCrossRefGoogle Scholar
  5. 1c.
    Krutter, H. M.: Phys. Rev. Bd. 48 (1935) S. 664 (Kupfer).CrossRefGoogle Scholar
  6. 1d.
    Hund, F., u. B. Mrowka: Ber. d. Sächs. Akad. d., Wiss. math.-phys. Kl. Bd. 87 (1935) S. 185 u. S. 325 (Diamant).Google Scholar
  7. 1e.
    Kimball, G. E.: J. chem. Physics Bd. 3 (1935) S. 560 (Diamant.)CrossRefGoogle Scholar
  8. 1f.
    Shockley, W.: Phys. Rev. Bd. 50 (1936) S. 754. (NaCl).CrossRefGoogle Scholar
  9. 1g.
    Ewing, D. H., u. F. Seitz: Phys. Rev. Bd. 50 (1936) S. 760 (LiF und LiH).MATHCrossRefGoogle Scholar
  10. 1h.
    Herring, C., u. A. G. Hill: Phys. Rev. Bd. 58 (1940) S. 132 (Beryllium).MATHCrossRefGoogle Scholar
  11. 1l.
    Lage, F. G. Von Der, u. H. A. Bethe: Phys. Rev. Bd. 71 (1947) S. 612 (Natrium).MATHCrossRefGoogle Scholar
  12. 2.
    Das Aufelektron bewegt sich also streng genommen gar nicht in einem festen Potential, sondern in einem „Motiv“, wie wir es von der Behandlung der Bildkraft beim Austritt von Elektronen aus einem glühenden festen Körper her kennen. Siehe z. B. Artikel W. Schottky in Wienharms: Handbuch der Experimentalphysik. Bd. XIII, Tl. 2, S. 254. Leipzig: Akademische Verlagsgesellschaft 1928.Google Scholar
  13. 3.
    Boer, J. H. De, u. E. J. W. Verwey: Proc. phys. Soc., Lond. Bd. 49 (1935) S. 59.CrossRefGoogle Scholar
  14. 3a.
    Schottky, W.: Z. Elektrochem. Bd. 45 (1939) S. 33, namentl. S. 57.Google Scholar
  15. 3b.
    Dressnandt, H.: Z. Phys. Bd. 115 (1940) S. 369.CrossRefGoogle Scholar
  16. 3c.
    Wagner, C.: Phys. Z. Bd. 36 (1935) S. 721, auch abgedruckt in Z. techn. Phys. Bd. 16 (1935) S. 327.Google Scholar
  17. 3d.
    Wagner, C., u. E. Koch: Z. phys. Chem. Abt. B Bd. 32 (1936) S. 439.Google Scholar
  18. 3e.
    Peierls, R.: Prcc. Phys. Soc. Lcndon Bd. 49 (1937) S. 72.CrossRefGoogle Scholar
  19. 1.
    Kronig, R. DE L., u. W. G. Penney: Proc. roy. Soc., Lond. Bd. 130 (1931) S. 499.CrossRefGoogle Scholar
  20. 1a.
    Morse, P. M.: Phys. Rev. Bd. 35 (1930) S. 1310.MATHCrossRefGoogle Scholar
  21. 1b.
    Strutt, M. J. O.: Lamésche, Mathieusche und verwandte Funktionen in Physik und Technik. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 1. Bd., 3. Heft. Berlin: Springer 1932.CrossRefGoogle Scholar
  22. 2.
    Die Dinge liegen ähnlich wie bei dem in § 1 des vorigen Vortrags besprochenen Zwei-Zentren-Ein-Elektronenproblem, das in dem speziellen Fall, daß es sich bei den zwei Zentren um Wasserstoffkerne mit rein Coulombschem Potential handelt, streng gelöst werden kann. Trotzdem zogen wir es vor, eine Näherungslösung zu benutzen, weil dies für den Vergleich mit dem Heitler-London-Verfahren fruchtbarer war.Google Scholar
  23. 1.
    SLATER, J. C.: Phys. Rev. Bd. 34 (1929) S. 1293.MATHCrossRefGoogle Scholar
  24. 1.
    BLOCH, F.: Z. Phys. Bd. 52 (1929) S. 555.CrossRefGoogle Scholar
  25. 1.
    Die Richtigkeit von (VII 2.02) bzw. (VII 2.03) wird sich weiter unten noch bestätigen, s. S. 167.Google Scholar
  26. 1.
    Hier liegen typische Beispiele vor für solche Feststellungen, die für sich allein genommen keinerlei physikalische Bedeutung haben, da sie selbst die willkürliche Zellenzahl G des Grundgebietes enthalten. In Verbindung mit anderen Überlegungen werden sie aber zu Aussagen führen, in denen das willkürliche G nicht mehr vorkommt und die dann von sehr großer physikalischer Bedeutung sind. Siehe z. B. S. 169, Fußnote 1 oder S. 253–254 Gl. (VII 10.07) bis (VII 10.09) oder S. 272–273, Ableitung von Gl. (VIII 1.07).Google Scholar
  27. 1.
    und ebenso den Energieeigenwert E nicht ändert, wie wir auf S. 168 unten aus Gl. (VII 2.22) folgern werden.Google Scholar
  28. 1.
    Die tiefere Rechtfertigung dieses Vorgehens liegt darin, daß man auf diese Weise die im Sinne eines RITzschen Verfahrens beste Lösung eines Variationsproblems erhält, das mit der SCHRÖDINGERGLEICHUNG äquivalent ist. Siehe hierzu z. B. F. Hund in Geiger/Scheel: Handbuch der Physik. Bd. XXIV, Tl. 1, S. 575. Berlin: Springer 1933.Google Scholar
  29. 2.
    In Abb. VII 2.6 ist die Schlußweise von Bloch lediglich bildlich veranschaulicht. Ob die Verhältnisse in einem konkreten Fall so liegen, daß diese Schlußweise quantitativ gerechtfertigt ist, bleibe dahin gestellt. Eine Prüfung dieser Frage führt auf die recht schwierige Untersuchung des Verlaufs des Gitterpotentials und müßte z. B. auch die Fälle unterscheiden, ob es sich bei dem Aufelektron um ein Valenzelektron der äußersten Schale oder um ein stark gebundenes Elektron der inneren Schalen handelt. Gerade bei dem letztgenannten Fall scheint es aber wieder fraglich, ob nicht an Stelle des Hund-Mulliken-Verfahrens besser eine Heitler-London-Näherung anzuwenden wäre. Es muß an dieser Stelle betont werden, daß es sich bei der Blochschen Nähe — rung um die historisch erste Behandlung von Kristallelektronen handelt, bei der viel mehr Wert auf die qualitativen Züge zu legen ist, während den Ergebnissen kaum eine quantitative Bedeutung beigelegt werden kann.Google Scholar
  30. 1.
    Siehe hierzu beispielsweise S. Flügge u. H. Marschall Rechenmethoden der Quantentheorie. S. 162/164. Berlin/Göttingen/Heidelberg: Springer 1947MATHGoogle Scholar
  31. 1a.
    oder auch H. A. Bethe in Geiger/Scheel: Handbuch der Physik. Bd. XXIV, Ti. 1, S. 335. Berlin: Springer 1933. Dort auch Näheres über die Bedeutung der Austauschenergie für die Platzwechselhäufigkeit.Google Scholar
  32. 1.
    In dieser Form ist die Aussage von der willkürlichen Zellenzahl G des Grundgebiets unabhängig und wird dadurch erst physikalisch bedeutungsvoll.Google Scholar
  33. 2.
    Dies wird erst in § 10 angegriffen werden.Google Scholar
  34. 1.
    Wie bei der Verwendung dieser Aussage in Kap. VIII, § 1 das Volumen des willkürlichen Grundgebietes herausfällt, s. S. 272–273 Ableitung von Gl. (VIII 1.07).Google Scholar
  35. 2.
    Siehe z. B. H. A. Bethe in Geiger/Scheel: Bd. XXIV, Tl. 2, S. 401/404.Google Scholar
  36. 3.
    Näheres zu diesem Begriff s. S. 259–261.Google Scholar
  37. 1.
    H. A. Bethe gibt in Geiger/Scheel, Bd. XXIV, Tl. 2, S. 397 eine Formel (12.17) für das Energiespektrum eines Gitters mit Basis an, bei der offenbar auf den oben erwähnten Umstand keine Rücksicht genommen worden ist.Google Scholar
  38. 2.
    Siehe aber Fußnote 2 auf S. 182.Google Scholar
  39. 3.
    Wir verweisen in diesem Zusammenhang auf die ausgezeichneten Darstellungen von P. P. Ewald: Kristalle und Röntgenstrahlen. Berlin: Springer 1923 und in Geiger-Scheel: Handbuch der Physik. Bd. XXIII, Tl. 2.MATHCrossRefGoogle Scholar
  40. 1.
    Oder in Sonderfällen in der 4. Zone.Google Scholar
  41. 2.
    Eine sehr anschauliche Einführung der Millerschen Indices gibt P. P. Ewald: Kristalle und Röntgenstrahlen. S. 20 u. 26. Berlin: Springer 1923.MATHCrossRefGoogle Scholar
  42. 1.
    Beweis s. z. B. P. P. Ewald: Kristalle und Röntgenstrahlen. S. 249/250. Berlin: Springer 1923.MATHCrossRefGoogle Scholar
  43. 1a.
    Für einen von Ewald ohne Beweis benutzten zahlentheoretischen Satz s. Z. B. B. L. Van Der Waerden: Moderne Algebra. 1. Teil, S. 61. Berlin: Springer 1937 oder Arnold Scholz: Einführung in die Zahlentheorie> Sammlung Göschen, Bd. 1131 (1939) S. 22.Google Scholar
  44. 2.
    Wir haben zu Beginn dieses § 3 und in Abb. VII 3.1 als Objekte der Brillouinschen Näherung Elektronen hoher Gesamtenergie angegeben. Da sich aber ein Elektron in einem Gebiet ortsunabhängiger potentieller Energie wie ein freies Elektron benimmt, werden die für gebundene Elektronen charakteristischen Eigenschaften durch die örtlichen Schwankungen der potentiellen Energie hervorgerufen. Schwach gebundene Elektronen sind hiernach solche, die sich in einem annähernd konstanten Potentialfeld bewegen und tatsächlich ist die entscheidende Näherungsannahme bei Brillouin die, daß der Wechselanteil der potentiellen Energie als kleine Störung betrachtet werden darf.Google Scholar
  45. 3.
    Siehe Fußnote 3 auf Seite 183.Google Scholar
  46. 1.
    Um auf die Darstellung VII 3.10b zu kommen, muß man in diesem Störungsverfahren von zwei durch die Rechnung gelieferten Eigenwerten jeweils einen unterdrücken, wofür eigentlich gar keine Veranlassung besteht.Google Scholar
  47. 1.
    Unsere räumliche Darstellung dieses zweidimensionalen Falles entspricht also der Abb. VII 3.10b des eindimensionalen Falles. Man darf sich aber dadurch nicht zu dem Irrtum verleiten lassen, daß die Möglichkeit der Darstellung VII 3.10 c eine besondere Eigentümlichkeit des eindimensionalen Falles wäre. Bereits auf S. 170 und in Abb. VII 2.9 wurde darauf hingewiesen, daß auch in mehrdimensionalen Fällen der Übergang von dem Wellenvektor k zu einem Wellenvektor (math) möglich ist, ohne daß sich Eigenfunktion und Eigenwert ändert.Google Scholar
  48. 1.
    Floquet, G.: Ann. Ecole norm. Bd. 12 (1883) S. 47.MathSciNetMATHGoogle Scholar
  49. 2.
    Kramers, H. A.: Physica, Haag Bd. 2 (1935) S. 483.CrossRefGoogle Scholar
  50. 1.
    Wigner, E., u. F. Seitz: Phys. Rev. Bd. 43 (1933) S. 804.CrossRefGoogle Scholar
  51. 2.
    Slater, J. C.: Phys. Rev. Bd. 45 (1934) S. 794.MATHCrossRefGoogle Scholar
  52. 1.
    Herring, C., u. A. G. Hill: Phys. Rev. Bd. 58 (1940) S. 132.MATHCrossRefGoogle Scholar
  53. 2.
    Siehe Fußnote 1 auf S. 153.Google Scholar
  54. 2.
    Beim freien Elektron ist also zufälligerweise ein Zustand scharf definierter Gesamtenergie auch ein Zustand scharf definierten Impulses. Siehe hierzu vielleicht E. Fues in Wien/Harms: Handbuch der Experimentalphysik, Ergänzungswerk. S. 212. Leipzig: Akad. Verlagsges. 1935Google Scholar
  55. 2a.
    und H. A. Kramers: Die Grundlagen der Quantentheorie in Eucken-Wolf: Handund Jahrbuch der Chemischen Physik. S. 138 u. 162. Leipzig: Akad. Verlagsges. 1938.Google Scholar
  56. 1.
    Siehe Fußnote 1 auf S. 193.Google Scholar
  57. 2.
    Sommerfeld, A.: Atombau und Spektrallinien. Bd. II, S. 8, Gl. (14). Braunschweig: Vieweg & Sohn 1944.Google Scholar
  58. 2a.
    Siehe auch W. Shockley: Electrons and holes in Semiconductors. S. 160, Fig. 6.2. New York: Van Nostrand Company 1950.Google Scholar
  59. 1.
    S. z. B. E. Fues in Wien-Harms: Handbuch der Experim.-Physik. Ergänzungswerk S. 150, Gl. (5.6). Leipzig: Akadem. Verlagsges. 1935.Google Scholar
  60. 2.
    Siehe Gl. (5.5) auf S. 149 des in Fußnote 1 zitierten Werkes.Google Scholar
  61. 1.
    Die Begründung ist dieselbe wie die auf S. 200 unten gebrachte Begründung für Gl. (VII 6.09).Google Scholar
  62. 1.
    Hierfür würde dann die Gl. (VII 6.17) gebraucht. Die obige Darstellung folgt übrigens W. V. Houston in Phys. Rev. Bd. 57 (1940) S. 184.MathSciNetCrossRefGoogle Scholar
  63. 1a.
    In diesem Zusammenhang sind noch zu nennen: F. Bloch: Z. Phys. Bd. 52 (1928) S. 555MATHGoogle Scholar
  64. 1b.
    R. Peierls: Z. Phys. Bd. 53 (1929) S. 255 H. A. Bethe im Handbuch der Physik. Bd. XXIV, Tl. 2, S. 507MATHCrossRefGoogle Scholar
  65. 1c.
    H. Jones u. C. Zener: Proc. roy. Soc., Lond. Bd. 144 (1934) S. 101–117MATHCrossRefGoogle Scholar
  66. 1d.
    J. C. Slater, Rev. Modern Phys. Bd. 6 (1934) S. 209, namentlich S. 259CrossRefGoogle Scholar
  67. 1e.
    A. H. Wilson: The Theory of Metals. Cambridge: Univ. Press. 1935. In den Büchern von Fröhlich, Seitz und Mott-Jones wird für (VII 6.12) ein sehr einfacher Beweis mit Hilfe eines Energiesatzes gegeben. Wir befürchten allerdings, daß bei diesem sehr einfachen Beweis ein sehr wichtiger Teil der zu beweisenden Tatsache — nämlich die dauernde Repräsentation des Kristallelektrons durch eine Lösung (math) der zusatzkraftfreien stationären Schrödinger- Gleichung — bereits in die Formulierung dieses Energiesatzes gesteckt wird und die weiteren dortigen Ausführungen nur die Art der Zeitabhängigkeit von k präzisieren. Ein weiterer Einwand gegen diese Art der Beweisführung s.Google Scholar
  68. 1f.
    W. Shockley: Electrons and Holes in Semiconductors. S. 424, 425. New York: Van Nostrand Co. 1950.Google Scholar
  69. 1g.
    Zu diesem ganzen Fragenkomplex s. auch D. Pfirsch u. E. Spenke: Z. Phys. Bd. 137 (1954) S. 309.MATHCrossRefGoogle Scholar
  70. 1.
    Neuerdings hat sich aber gezeigt, daß für gewisse Fragestellungen (Zusammenhang mit dem Ehrenfestschen Theorem) auch schon bei schwachen Kräften die Übergänge in die höheren Bänder berücksichtigt werden müssen [s. D. Pfirsch u. Rosen DR, Siddique T, Patterson D, Figlewicz DA, Sapp P, Hentati A, Donaldson D, Goto J, Oegan JP, Deng H-X, Rahmani Z, Krizus A, McKenna-Yasek D, Cayabyab A, Gaston SM, Berger R, Tanzi RE, Halperin JJ, Herzfeldt B, Van den Bergth R, Hung W-Y, Bird T, Deng G, Mulder DW, Smyth C, Laing NG, Soriano E, Pericak-Vance MA, Haines J, Rouleau GA, Gusella JS, Horvitz HR, Brown RH (1993) Mutations in Cu/Zn superoxide dismutase gene are associated with familial amyotrophic lateral sclerosis. Nature 362 : 5962: Z. Phys. Bd. 137 (1954) S. 309].MATHCrossRefGoogle Scholar
  71. 1.
    In dieser Allgemeinheit gilt diese scheinbar so selbstverständliche Aussage nicht. In dreidimensionalen Gittern können an den Bandgrenzen recht komplizierte Verhältnisse auftreten. Wir erwähnten das schon auf S. 170 Mitte in Hinweis auf das kubisch-flächenzentrierte Gitter.Google Scholar
  72. 1.
    ZENER, C.: Proc. roy. Soc., Lond. A Bd. 145 (1934) S. 523.CrossRefGoogle Scholar
  73. 1.
    Es sei an dieser Stelle daran erinnert, daß eine unbegrenzte ebene Welle mit endlicher Amplitude wegen der Normierungsschwierigkeit im unbegrenzten Raum am einfachsten nicht als Repräsentation eines Elektrons, sondern als Repräsentation eines Strahles von vielen gleich schnellen Elektronen aufgefaßt wird. Das Amplitudenquadrat dieser Welle ist dann ein Maß für die Intensität dieses „Kathodenstrahles“.Google Scholar
  74. 2.
    Der Einfachheit halber betrachten wir das eindimensionale Problem. Weshalb für die Energie jetzt die Type E an Stelle von E gewählt wird, s. S. 214.Google Scholar
  75. 2a.
    Siehe Bethe in Geiger/ Scheel, Bd. XXIV, Tl. 2, S. 423.Google Scholar
  76. 1.
    Die Abb. VII 3.10 bis 3.12 wurden bisher immer aufgefaßt als Darstellungen der Abhängigkeit der Kristallenergie E von der Wellenzahl k. Genau so stellen sie aber die Umkehrfunktion — Wellenzahl k in Abhängigkeit von der Kristallenergie Ekristall — dar.Google Scholar
  77. 1a.
    Die Zenersche Lösung entspricht dem nullten Schritt eines W.-K.-B.-Verfahrens. Bezüglich des W.-K.-B.-Verfahrens s. z. B. W. Weizel: Lehrbuch der theoretischen Physik. Bd. II, S. 1010. Berlin/Göttingen/Heidelberg: Springer 1950.Google Scholar
  78. 1.
    Hier setzt eine Kritik von F. Cernuschi ein. Proc. Cambridge Phil. Soc. Bd. 32 (1936) S. 276.MATHCrossRefGoogle Scholar
  79. 22.
    Bei Zener heißt es hier fälschlicherweise a vor der Wurzel. Das Zenersehe Endergebnis ist aber wieder richtig.Google Scholar
  80. 1.
    Auf S. 205 wurde bereits festgestellt, daß eine Weiterverfolgung der im vorigen § 6 wiedergegebenen Ansätze von Houston auch die Frage der Zener — übergänge beantworten muß. Houston selbst hai auf diese Weise ein von (VII 7.08) um den Faktor (2π)2 abweichendes Ergebnis erhalten. Tatsächlich liefert dieser Weg aber ebenfalls das Zenersche Ergebnis (VII 7.08) bis auf den gänzlich 2 unwesentlichen (-). Das ist namentlich deswegen befriedigend, weil die Zenersche Rechnung in mancher Beziehung nicht völlig überzeugt. Z. B. geht der Zenersche Ansatz (VII 7.03) im Gegensatz zu den Houstonschen Ansätzen des § 6 beim Grenzübergang von einem Kristallelektron zu einem freien Elektron (Amplitude der Potentialschwankungen — 0) nicht in eine strenge Lösung über, wie man beim Versuch einer Verifikation ohne weiteres feststellt. Damit dürfte zusammenhängen, daß in den Zenerschen Betrachtungen eine an der oberen Bandgrenze reflektierte Welle gar nicht auftritt.Google Scholar
  81. 1.
    Franz, W.: Ergebn. exakt. Naturw. Bd. 27 (1953) S. 16, G1. (34).Google Scholar
  82. 2.
    Siehe H. A. Bethe in Geiger/Scheel: Handbuch der Physik. Bd. XXIV, Tl. 2, S. 439, Gl. (19.12) u. (19.13).Google Scholar
  83. 1.
    Fröhlich, H.: Elektronentheorie der Metalle. S. 44 unten, Gl. (24), Bd. XVIII der Sammlung Struktur und Eigenschaften der Materie in Einzeldarstellungen. Berlin: Springer 1936.MATHGoogle Scholar
  84. 1.
    Siehe z. B. K. B. McAfee, E. J. Ryder, W. Shockley, M. Sparks: Phys. Rev. Bd. 83 (1951) S. 650. In Gl. (1) dieser Arbeit ist allerdings der Exponent um einen Faktor 2 zu groß. Es handelt sich dabei anscheinend aber nur um einen Druckfehler; denn in der Zahlenwertgleichung (3) loc. cit. hat der Exponent wieder die richtige Größe.CrossRefGoogle Scholar
  85. 2.
    Wir haben S. 10ff. u. 16 gesehen, daß in einem isolierenden Kristall ein vollbesetztes und daher nicht leitendes „Valenzband“ und ein leeres „Leitungsband“ vorliegt. (Siehe hierzu auch S. 253 ff. und S. 284ff.) Der isolierende Kristall kann nur dadurch leitend werden, daß Elektronen in das leere Leitungsband gebracht werden. Dies könnte durch den Zener-Effekt von gewissen Feldstärken ab erfolgen. Da der Effekt mit wachsender Feldstärke sehr plötzlich einsetzt (Abb. VII 7.3) würde der Kristall oberhalb gewisser Feldstärken sehr plötzlich und in sehr starkem Maße leitend werden, d. h. das Phänomen des „Durchschlags“ zeigen.Google Scholar
  86. 3.
    Siehe auch G. K. McKay u. K. B. McAfee: Phys. Rev. Bd. 91 (1953) S. 1079CrossRefGoogle Scholar
  87. 3a.
    und G. K. McKay: Phys. Rev. Bd. 94 (1954) S. 877.CrossRefGoogle Scholar
  88. 4.
    Die Größe h übernimmt also die Rolle eines verallgemeinerten Impulses, weshalb dafür auch in manchen Darstellungen der Name Kristallimpuls gewählt wird (W. Shockley: Electrons and Holes in Semiconductors. S. 143. Toronto, New York, London: D. Van Nostrand Comp., Inc. 1950.) Für ein freies Elektron wird der quantenmechanische Mittelwert des Impulses, für den wir ja die Formel = grad>e E (k) abgeleitet haben, tatsächlich auch identisch mit der Größe h k s. Gl. (VII 6.31)].Google Scholar
  89. 1.
    Die Situation wird dadurch nicht einfacher, daß die weiter unten wiederzugebende Rechnung für den Fall des elektromagnetischen Wechselfeldes zunächst formal den Grenzübergang „Kreisfrequenz — 0 gestattet und dabei die Übergänge zu Nachbarzuständen desselben Bandes nach wie vor verboten bleiben. Wir werden bei Durchführung der Rechnung nachdrücklich darauf hinweisen, auf Grund welcher Anfangsansätze eine derartige formale Durchführung des Grenzübergangs „Kreisfrequenz 0“ unzulässig ist. Der Gegensatz mildert sich aber schon dadurch in gewisser Weise, daß auch ein zeitunabhängiges Feld Übergänge in höhere Bänder auslöst; das wurde bisher allerdings nur bei starken äußeren Feldern beachtet (Zener-Effekt § 7). In letzter Zeit hat sich aber gezeigt, daß diese Übergänge in höhere Bänder auch bei schwachen zeitunabhängigen Feldern für gewisse Fragestellungen berücksichtigt werden müssen. (Siehe D. Pfirsch u. E. Spenke: Z. Phys. Bd. 137 (1954) S. 309.)MATHCrossRefGoogle Scholar
  90. 1.
    Hier erscheint vielleicht ein Vergleich der Kreisfrequenz ω des Wechselfeldes mit der zum Übergang „Leitungsband Valenzband“ gehörigen Kreisfrequenz E cv/ħ eher angemessen.Google Scholar
  91. 2.
    Siehe z. B. H. Fröhlich: Elektronentheorie der Metalle. S. 354 u. 355. Berlin: Springer 1936.MATHGoogle Scholar
  92. 1.
    Siehe z. B. W. Weizel: Lehrbuch der theoretischen Physik. Bd. II, S. 881, Gl. (24). Berlin/Göttingen/Heidelberg: Springer 1950.Google Scholar
  93. 1.
    Der zu Beginn des § 6 behandelte Fall des freien Elektrons unter der Wirkung einer äußeren Kraft F ist scheinbar ein Gegenbeispiel. Auch hier enthält die Schrödinger-Gleichung (VII 6.06) ein nicht periodisches Glied. Gleichwohl ist die dort durch Verifikation bestätigte Lösung (VII 6.07) in jedem Zeitmoment t periodisch. Dieses Gegenbeispiel ist trotzdem nicht stichhaltig, da die Periode zeitabhängig ist, während — wie schon oben betont — (VII 8.09) in jedem Zeitmoment als Periode das feste, unveränderliche Grundgebiet hat.Google Scholar
  94. 2.
    Siehe Anm. 1, Seite 227.Google Scholar
  95. 1.
    Das ist zu Beginn des Vorgangs bestimmt eine Zeitlang der Fall. Diese ,Kleinheit der Störung“ bleibt um so länger erhalten, je kleiner die Kraftamplitude F ist. Google Scholar
  96. 1.
    Bei der Absorption von Röntgen-Strahlen gilt das freilich wegen der kleinen Wellenlänge der Röntgen-Strahlen nicht mehr.Google Scholar
  97. 2.
    Außerdem würde bei Elektronengeschwindigkeiten in der Größenordnung der Lichtgeschwindigkeit die in den bisherigen Ausführungen benutzte einfache Schrödinger-Gleichung nicht mehr ausreichen. Alle abgeleiteten Beziehungen würden sich sowieso relativistisch modifizieren.Google Scholar
  98. 1.
    Siehe hierzu vielleicht: N. Riehl u. M. Schön: Z. Phys. Bd. 114 (1939) S. 682, namentlich S. 687.MATHCrossRefGoogle Scholar
  99. 1a.
    Oder N. Riehl: Physik und technische Anwendung der Lumineszenz. S. 103ff. Bd. III der Sammlung Technische Physik in Einzeldarstellungen. Berlin: Springer 1940.Google Scholar
  100. 2.
    Siehe zu den Begriffen der „Fehlordnung“ und der „Baufehler“ Helmut G. F. Winkler: Struktur und Eigenschaften der Krystalle. Berlin/Göttingen/ Heidelberg: Springer 1950.Google Scholar
  101. 1.
    Als Stoßpartner dachte man damals naturgemäß an die Gitteratome und die anderen Elektronen. Zu welchen Schwierigkeiten das führte, werden wir später auf S. 239 sehen.Google Scholar
  102. 1.
    Diese nun einmal leider eingebürgerte Bezeichnung ist eigentlich wenig glücklich. Es handelt sich ja um die zwischen zwei Stoßprozessen verstreichende Zeit für die Zurücklegung einer freien Weglänge und nicht um die Dauer des Stoßprozesses selbst. Eine Bezeichnung wie „freie Flugzeit“ oder „free mean time“ erscheint in dieser Beziehung wegen ihrer Parallelität zu „free mean path“ sehr viel glücklicher.Google Scholar
  103. 1.
    Die „mittlere“ Stoßzeit τ wäre hiernach gleich dem halbem arithmetischen Mittelwert der einzelnen Stoßzeiten (math). Ein derartiger im Rahmen dieser rohen Betrachtung gewonnener Faktor ½ ist aber nicht ernst zu nehmen. In Wirklichkeit sind viel kompliziertere Mittelbildungen vorzunehmen, bis von einer endgültigen mittleren Stoßzeit τ die Rede sein kann, und dabei ändern sich solche Zahlenfaktoren noch mannigfaltig. Für die folgenden skizzenhaften Bemerkungen genügt es, τ zunächst einfach mit dem arithmetischen Mittelwert τü zu identifizieren.Google Scholar
  104. 1.
    Die metallischen Beweglichkeiten liegen tatsächlich zwischcn 10 und 100 (math) Siehe z. B. F. SEITZ: The Modern Theory of Solids. S. 183. New York: McGraw-Hill Book Company 1940.MATHGoogle Scholar
  105. 2.
    Zu diesem Wert s. Gl. (VIII 4.09).Google Scholar
  106. 2.
    Seitz, F.: The Modern Theory of Solids. S. 183. New York: McGraw-Hill Book Company 1940.MATHGoogle Scholar
  107. 3.
    Ryder, E. J., and W. Shockley: Phys. Rev. Bd. 81 (1951) S. 139 u. 140.CrossRefGoogle Scholar
  108. 4.
    Shockley, W.: Bell Syst. techn. J. Bd. XXX (1951) S. 990.Google Scholar
  109. 1.
    Bei Germanium sogar bis etwa 500 Gitterkonstanten.Google Scholar
  110. 2.
    Wenn man hier einen Ausweg in der Form sucht, daß die Wirkungssphäre der Atome bei der Wechselwirkung mit ihren Nachbarn und daher bei den Gitterbindungsfragen viel größer ist als der Wirkungsquerschnitt gegenüber schnellen Leitungselektronen, so ist dies nur eine andere Formulierung des für klassische Vorstellungen unverständlichen Sachverhalts.Google Scholar
  111. 3.
    Paull, W.: Z. Phys. Bd 41 (1927) S. 81.CrossRefGoogle Scholar
  112. 4.
    Sommerfeld, A.: Naturwiss. Bd. 15 (1927) S. 825; Bd. 16 (1928) S. 374.MATHCrossRefGoogle Scholar
  113. 5.
    Pauli machte die Temperaturunabhängigkeit und Schwäche des Paramagnetismus der Alkalien verständlich, Sommerfeld den Ausfall der Leitungselektronen für die spezifische Wärme des Festkörpers (neben anderen Ergebnissen).Google Scholar
  114. 6.
    Bloch, F.: Z. Phys. Bd. 52 (1928) S. 555; Bd. 57 (1929) S. 545.Kurz vorher hatte der Sommerfeld-Schüler W. V. Houston die Streuung der elektronenwellen analog zur DEBYESCHEN Streuung von Röntgen- Strahlen durch die thermischen Dichteschwankungen im Kristall behandelt. Z. Phys. Bd. 48 (1928) S. 449.MATHGoogle Scholar
  115. 1.
    Conwell, E., u. V. F. Weisskopf: Phys. Rev. Bd. 69 (1946) S. 258; Bd. 77 (1950) S. 388.Google Scholar
  116. 1.
    Gordon, W.: Z. Phys. Bd. 48 (1928) S. 180.MATHCrossRefGoogle Scholar
  117. 1a.
    Mott, N. F.: Proc. roy. Soc., Lond. (A) Bd. 118 (1928) S. 542.MATHCrossRefGoogle Scholar
  118. 1b.
    Temple, S.: Proc. roy. Soc., Lond. (A) Bd. 121 (1928) S. 673.MATHCrossRefGoogle Scholar
  119. 1.
    Beim Vergleich der höchsten akustischen und der niedrigsten optischen Schwingung verwischt sich also der Unterschied zwischen akustischen und optischen Schwingungen, der beim Vergleich tiefer und mittlerer akustischer Schwingungen mit den optischen Schwingungen noch offensichtlich ist. Siehe im übrigen zu diesen Schwingungstypen ausführlicher z. B. Walter Weizel: Lehrbuch der theoretischen Physik. Bd. II, S. 1385. Berlin/Göttingen/Heidelberg: Springer 1950.Google Scholar
  120. 1.
    Siehe S. 13–14 u. Abb. I 2.9.Google Scholar
  121. 1.
    In diesem Zusammenhang spielen die sogenannten Peierlsschen Umklapp — prozesse eine größere Rolle. Siehe hierzu H. A. Bethe in Geiger/Scheel, Bd. XXIV, Tl. 2, S. 536.Google Scholar
  122. 2.
    Shockley, W., u. J. Bardeen: Phys. Rev. Bd. 77 (1950) S. 407.MathSciNetCrossRefGoogle Scholar
  123. 2a.
    Shockley, W.: Electrons and Holes in Semiconductors. S. 264ff.Google Scholar
  124. 3.
    Begründung s. Gl. (VIII 4.27).Google Scholar
  125. 4.
    Begründung s. Gl. (VIII 4.09).Google Scholar
  126. 1.
    Gl. (VII 6.12).Google Scholar
  127. 1.
    Zwei wegen des Spins !Google Scholar
  128. 1.
    Vielfach wird bei einer bildlichen Darstellung der Funktion f(E) die Energie E als Abszisse und f (E) als Ordinate aufgetragen. Da aber bei einer späteren Verwendung von f(E) in dem Energietermschema die Energie stets auf der vertikalen Achse aufgetragen wird, wurde das hier bei der Darstellung von f (E) auch gemacht. Wir kommen dann gleich zu der später so wichtig werdenden waagerecht verlaufenden „Fermi-Kante E F“.Google Scholar
  129. 1.
    Auf der Ordinatenachse der linken Darstellung in Abb. VII 10.1 ist die Differenz EE F, nicht die Energie E selbst aufgetragen. Man darf sich also durch diese Darstellung nicht zu dem Mißverständnis verleiten lassen, daß die Fermi-Kante temperaturunabhängig wäre. Dies ist zwar bei Metallen annähernd, aber auch nicht streng der Fall. Bei Halbleitern dagegen ist das Fermi-Niveau im allgemeinen sogar stark temperaturabhängig.Google Scholar
  130. 1.
    Vertauschen zwei Elektronen ihre Plätze, so ändert die Eigenfunktion des Mehr-Elektronen-Problems (in nullter Näherung die sogenannte Slater-Determinante) nur ihr Vorzeichen. Das bedeutet aber nicht eine Änderung der „physikalischen Situation“, des Zustandes des Viel-Elektronen- Systems. Das wellenmechanische Äquivalent der „korpuskularen“ Behauptung von der Ununterscheidbarkeit der Elektronen ist das Axiom, daß von allen Lösungen der Schrödinger-Gleichung eines Vielteilchen-Problems nur die symmetrische oder die antisymmetrische Lösung physikalische Realität haben und deshalb in Betracht gezogen zu werden brauchen. Daß sich von diesem Standpunkt aus die Abzählungsvorschriften der Bose- und der Fermi- Statistik einfach als Abzählung der sym — metrischen bzw. der antisymmetrischen Eigenfunktionen eines Viel-Elektronen-Problems darstellen, s. z. B. bei L. Nordheim in Müller-Pouillet: Lehrbuch der Physik. Bd. IV, Tl. 4, S. 251.Google Scholar
  131. 2.
    Nyquist, H.: Phys. Rev. Bd. 32 (1928) S. 110. Daß wir das mittlere Stromschwankungsquadrat J2̄ eines kurzgeschlossenen Leiters heranziehen und nicht das mittlere Spannungsquadrat u2̄ an den Enden eines Leiters mit offenen Klemmen (Leerlauf), ist damit begründet, daß in letzterem Fall eine primäre spontane Schwankung ein elektrisches Feld in dem Leiter erzeugt. Es liegt dann nicht mehr der von uns betrachtete kräftefreie Fall vor. Im übrigen ist für die folgende Argumentation wichtig, daß das Theorem von Nyquist mit thermodynamischen Mitteln bewiesen wird, so daß es von modellmäßigen Voraussetzungen weitgehend frei ist. Es kann also mit voller Beweiskraft auf ein so spezielles Modell wie das Bändermodell eines Isolators angewendet werden.CrossRefGoogle Scholar
  132. 1.
    Ein Quantenzustand kann wegen des Elektronenspins mit zwei Elektronen besetzt werden.Google Scholar
  133. 1.
    Die „Gestalt“ der k-Verteilung ist in dem eindimensionalen Beispiel der Abb. VII 10.4 einfach die Breite des besetzten k-Intervalls.Google Scholar
  134. 1.
    Siehe z. B. J. D’ans u. E. Lax: Taschenbuch für Chemiker u. Physiker. S. 164 bzw. 178. Berlin: Springer 1943.Google Scholar
  135. 1.
    Siehe z. B. P. P. Ewald: Kristalle u. Röntgenstrahlen. S. 150. Berlin: Springer 1923.CrossRefGoogle Scholar
  136. 2.
    S. 118 des in Fußnote 1 auf S. 259 zitierten Taschenbuches.Google Scholar
  137. 3.
    Genauer: alle und nur alle Gitterpunkte. Siehe hierzu die Ausführungen auf S. 260 unten über das Diamantgitter und die zugehörige Abb. VII 11.4.Google Scholar
  138. 4.
    Ewald, P. P.: S. 272 des in Fußnote 1 zitierten Werkes.Google Scholar
  139. 1.
    Da es sich, wie immer beim Bändermodell, um eine Behandlung des EinElektronenproblems (im periodischen Potentialfeld) handelt, kann die Lösung im Grenzfall getrennter Moleküle auch nur mit den Eigenfunktionen des Molekülions verglichen werden, aus denen das Hund-Mulliken-Verfahren dann erst die Mehrelektronen-Eigenfunktionen des Moleküls durch Linearkombinationen aufbaut. Siehe im übrigen die Unterschrift zu Abb. VII 11.7.Google Scholar
  140. 1.
    Hund, F., u. B. Mrowka: Ber. d. Sächs. Akad. d. Wiss. math.-phys. Kl. Bd. 87 (1935) S. 185 u. 325, besonders S. 192. Da im einzelnen C-Atom nicht nur zwei 2s-Elektronen, sondern auch zwei 2p-Elektronen vorhanden sind, liegt es nahe, nach der Durchführung der Blochschen Näherung mit p-Funktionen zu fragen. Hund und Mrowka haben sich aber bei Durchführung der Blochschen Näherung nur auf s-Funktionen beschränkt und ziehen erst bei der Wignersertzschen Zellularmethode p-Funktionen heran. Gl. (VII 11.02) gibt also nur die Bandaufspaltung des atomaren 2s-Niveaus wieder und besagt nichts über die Bandaufspaltung des darüber liegenden atomaren 2p-Niveaus.Google Scholar
  141. 1.
    Siehe Anm. 1, Seite 264.Google Scholar
  142. 2.
    Siehe z. B. Artikel A. Sommerfeld u. H. A. Bethe in Geiger/Scheel: Handbuch der Physik. Bd. XXIV, Tl. 2, S. 387, Gl. (12.15). Berlin: Springer 1933.Google Scholar
  143. 1.
    Ewald, P. P.: Kristalle und Röntgenstrahlen. S. 91. Berlin: Springer 1923.MATHCrossRefGoogle Scholar
  144. 2.
    Die Bedingung dafür ist, daß der „Strukturfaktor“ (math) für die Reflexionen an der Ebenenschar h verschwindet. Der Summationsindex t = 1, 2,..., m kennzeichnet in diesem Ausdruck die einzelnen Teilgitter; die m Vektoren rt spannen innerhalb einer Elementarzelle die Basis auf. Siehe z. B. P. P. Ewald, S. 279 des in Fußnote 1 zitierten Werkes.Google Scholar
  145. 3.
    Siehe N. F. Mott u. H. Jones: Properties of Metals and Alloys. S. 159. Oxford: Clarendon Press 1936.Google Scholar
  146. 3a.
    Hund, F., u. B. Mrowka: Ber. d. Sächs. Akad. d. Wiss. math.-phys. Kl. Bd. 87 (1935) S. 185 u. 325.Google Scholar
  147. 3b.
    Kimball, G. E.: J. chem. Physics Bd. 3 (1935) S. 560.CrossRefGoogle Scholar
  148. 2.
    Großangelegte Untersuchungen über die Bänderstruktur der Diamantgitter hat in den letzten Jahren Herman (Radio Corporation) unternommen. Siehe F. Herman: Phys. Rev. Bd. 88 (1952) S. 1210CrossRefGoogle Scholar
  149. 2a.
    F. Herman: Phys. Rev. Bd. 93 (1954) S. 1214MATHCrossRefGoogle Scholar
  150. 2b.
    F. Herman und J. Callaway: Phys. Rev. Bd. 89 (1953) S. 518CrossRefGoogle Scholar
  151. 2c.
    F. Herman, J. Callaway u. F. S. Acton: Phys. Rev. Bd. 95 (1954) S. 371.MATHCrossRefGoogle Scholar
  152. 3.
    Siehe J. D’ans u. E. Lax: Taschenbuch für Chemiker u. Physiker. S. 180.Google Scholar
  153. 4.
    Hund, F.: Phys. Z. Bd. 36 (1935) S. 725, namentl. S. 728; auch abgedruckt in Z. techn. Phys. Bd. 16 (1935) S. 331, namentl. S. 334.MATHGoogle Scholar
  154. 1.
    Siehe Anm.4, Seite 268.Google Scholar
  155. 2.
    Boer, J. H. De, u. E. J. W. Verwey: Proc. phys. Soc., Lond. Bd. 49 (1935) S. 59.CrossRefGoogle Scholar
  156. 2a.
    Schottky, W.: Z. Elektrochem. Bd. 45 (1939) S. 33, namentl. S. 57.Google Scholar
  157. 2b.
    Dressnandt, H.: Z. Phys. Bd. 115 (1940) S. 369.CrossRefGoogle Scholar
  158. 2c.
    Wagner, C.: Phys. Z. Bd. (1935) S. 721; auch abgedruckt in Z. techn. Phys. Bd. 16 (1935) S. 327.Google Scholar
  159. 2d.
    Wagner C., u. E. Koch: Z. phys. Chem. Abt. B Bd. 32 (1936) S. 439.Google Scholar
  160. 2e.
    Peierls, R.: Proc. phys. Soc., Lond. Bd. 49 (1937) S. 72. Bei der Bewertung der bisherigen experimentellen Befunde an diesen Verbindungen dürfte man niemals aus den Augen verlieren, daß die Herstellung einwandfreier Proben wegen der Abweichungen von der stöchiometrischen Zusammensetzung, wegen inhomogenen Aufbaues der Proben und wegen des polykristallinen Materials sehr schwierig ist. In den oben erwähnten Fehlschlüssen über den Leitungscharakter des Si und des Ge haben wir aber gesehen, zu welchen fundamentalen Irrtümern Messungen an nicht einwandfreien Proben führen können.CrossRefGoogle Scholar
  161. 3.
    Wigner, E., u. F. Seitz: Phys. Rev. Bd. 43 (1933) S. 804.CrossRefGoogle Scholar
  162. 3a.
    Slater, J. C.: Phys. Rev. Bd. 45 (1934) S. 794.MATHCrossRefGoogle Scholar
  163. 3b.
    Die neuere Entwicklung auf diesem Gebiet findet der Leser zusammengestellt bei G. V. Raynor: Reports on progress in Physics. Bd. XV (1952) S. 173 (Physical Society, London).Google Scholar

Copyright information

© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1955

Authors and Affiliations

  • Eberhard Spenke
    • 1
  1. 1.Pretzfeld/OberfrankenDeutschland

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