Zusammenfassung
Wenn heutzutage vom Potential im Innern eines Festkörpers die Rede ist, so denkt man unwillkürlich sofort an das periodische Potential U der Abb. I 2.2. Die atomistische Betrachtungsweise ist uns in diesem Zusammenhange so sehr zur Gewohnheit geworden, daß wir einen mikroskopischen Maßstab gewissermaßen automatisch zugrunde legen und die Naivität eines makroskopischen Kontinuumsstandpunktes verloren haben.
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Literatur
Siehe hierzu W. Schottky: Z. Phys. Bd. 132 (1952) S. 261, namentlich S. 276.
Bezüglich der Ortsunabhängigkeit der Energieterme des ungestörten Gitters im Gegensatz zur Orstgebundenheit der Donatoren- und Akzeptorenniveaus s. S. 20–21.
Siehe Fußnote 3 auf S. 6.
Diese Bindungskräfte werden manchmal auch als chemische Bindungskräfte bezeichnet und dementsprechend die Kristallenergie als chemische Bindungsenergie. Man will mit diesen Bezeichnungen betonen, daß sich die stoffliche Eigenart des jeweils betrachteten Festkörpers gerade in diesem Energieanteil auswirkt.
Ob hiernach in allen denkbaren Fällen die Aufteilung der Gesamtenergie in elektrostatische Energie und in Kristallenergie eindeutig festliegt, erscheint zum mindesten zweifelhaft. C. Herring u. M. H. Nichols definieren in Rev. of Modern Physics Bd. 21 (1949) S. 185 bis 270 das elektrostatische Makropotential durch Mittelwertbildung über das elektrostatische Mikropotential. W. Schottky hat in „Die Physik in regelmäßigen Berichten“ Bd. 3 (1935) S. 17 insbes. S. 19 Fußnote 1 ein sogenanntes „Leerraumpotential“ eingeführt, um das elektrostatische Makropotential exakt zu erfassen. Wir glauben, daß in den im folgenden behandelten Halbleiterrandschichten jedenfalls kein Zweifel bestehen kann, wie man die elektrostatische Energie - eV der Halbleiterelektronen anzusetzen hat und wie groß ihre Kristallenergie E ist.
Ob hiernach in allen denkbaren Fällen die Aufteilung der Gesamtenergie in elektrostatische Energie und in Kristallenergie eindeutig festliegt, erscheint zum mindesten zweifelhaft. C. Herring u. M. H. Nichols definieren in Rev. of Modern Physics Bd. 21 (1949) S. 185 bis 270 das elektrostatische Makropotential durch Mittelwertbildung über das elektrostatische Mikropotential. W. Schottky hat in „Die Physik in regelmäßigen Berichten“ Bd. 3 (1935) S. 17 insbes. S. 19 Fußnote 1 ein sogenanntes „Leerraumpotential“ eingeführt, um das elektrostatische Makropotential exakt zu erfassen. Wir glauben, daß in den im folgenden behandelten Halbleiterrandschichten jedenfalls kein Zweifel bestehen kann, wie man die elektrostatische Energie - eV der Halbleiterelektronen anzusetzen hat und wie groß ihre Kristallenergie E ist.
Das gilt auch für die untersten und obersten Terme eines jeden Bandes, obwohl dort die Ψ-Funktion den Charakter einer stehenden Welle hat und man daher unzutreffenderweise das Verschwinden der kinetischen Energie in diesen Bandgrenzen anzunehmen versucht sein wird. Näheres s. S. 195, Fußnote 1.
Daß eine chemische Bindungsenergie nicht rein potentieller Natur ist, sondern auch kinetische Anteile enthält, könnte auf den ersten Blick befremden. Man wird aber auch bei einem einzelnen Atom unbedenklich als Bindungsenergie eines Elektrons an den Atomrumpf die Ionisierungsenergie des betreffenden Elektrons angeben. Bei der üblichen Nullpunktfestsetzung (das abgetrennte in Ruhe befindliche Elektron hat die Energie Null) wird sie also gleich der Energie des Elektrons in dem betreffenden Atomterm und besteht deshalb im Grundzustand des H-Atoms beispielsweise aus einem potentiellen Anteil (math) und einem kinetischen Anteil (math) [Z = Kernladungszahl = 1 beim H-Atom, n = Hauptquantenzahl = 1 im Grundzustand, a 0 = Radius der ersten Bohrschen Bahn. Siehe im übrigen Handbuch der Physik von Geiger/Scheel. Bd. XXV, 1. 2. Aufl. Art. H. A. Bethe, S. 287, Gl. (3.29)]. Auch hier enthält also die chemische Bindungsenergie einen beträchtlichen kinetischen Anteil.
Die Schraffur soll in den Abbildungen dieses Kap. X nur das Vorhandensein eines Kontinuums von besetzbaren Elektronenzuständen andeuten, aber im Gegensatz zu den Abbildungen des Kap. VIII nichts über die Dichte der tatsächlichen Besetzung aussagen. Wenn weiter in der Abb. X 1.2 eine obere Grenze des Leitungsbandes eingezeichnet worden ist, so geschieht das hauptsächlich aus pädagogischen Gründen. Die Durchführung der Wigner-Seitzschen Zellularmethode (s. S. 190) hat bei konkreten Körpern wie Na, K usw. ergeben, daß das Leitungsband und die Bänder darüber immer einander überlappen, so daß von einer oberen Grenze des Leitungsbandes eigentlich gar nicht mehr gesprochen werden kann. In den nächsten Bildern ist deshalb eine obere Grenze des Leitungsbandes auch gar nicht mehr gezeichnet worden.
In einem solchen Fall kann die additive Zusammensetzung der elektrostatischen Energie -eV und der Kristallenergie E natürlich nur Näherungscharakter besitzen. Denn in Wirklichkeit ist ja dann das gesamte Potential = periodisches Gitterpotential U + Makropotential V gar nicht mehr rein periodisch, und damit ist im Prinzip die Grundlage für die Berechnung einer besonderen Kristallenergie bereits verlassen. Bei genügend schwacher örtlicher Variation des Makropotentials V wird das geschilderte Vorgehen aber eine gute Näherung darstellen. Für eine genauere Diskussion dieser Frage verweisen wir auf B. Kockel: Z. Naturforsch. Bd. 7a (1952) S. 10 bis 16. man in diesem einfachen Modell ein Makropotential V berücksichtigen wollte, so wäre außerhalb des Topfes die potentielle Energie der Elektronen nicht gleich Null, sondern gleich -eV zu setzen und entsprechend innerhalb des Topfes nicht gleich Epot, sondern gleich Epot -eV (x). Die Berücksichtigung eines Makropotentials V (x) erfolgt aber erst jetzt im Kap. X.
Eine Versuchsanordnung, in der ein linearer Potentialverlauf bei thermischem Gleichgewicht realisiert ist, zeigen die Abb. X 2.4 bzw. X 3.1
Als Nicht-Gleichgewichtszustand ist dieser Zustand natürlich weitgehend von der Vorgeschichte abhängig. Die Lage der FERMI-Niveaus in beiden Metallen gegeneinander ist also weitgehend willkürlich.
Bei glühenden Oberflächen wird das relativ schnell gehen, bei kalten Oberflächen dagegen außerordentlich lange dauern.
Ob die Bezeichnung „Kontaktpotential“ sehr glücklich ist, darf bezweifelt werden. Erfahrungsgemäß lenkt der Bestandteil „Kontakt“ dieser Bezeichnung die Aufmerksamkeit von dem Umstand ab, daß es sich um die Potentialdifferenz zwischen zwei freien, also nicht miteinander in Kontakt stehenden, sondern weit voneinander getrennte Oberflächen handelt. Daß die beiden Körper an anderer Stelle miteinander in innigem Kontakt stehen, dient nur zur Sicherung des thermischen Gleichgewichts zwischen ihnen und könnte im Prinzip auch bei getrennten Körpern durch genügend langes Abwarten ersetzt werden.
Schottky, W., u. H. Rothe: Physik der Glühelektroden. Bd. XIII, Tl. 2 des Handbuches der Experimentalphysik von Wien und Harms. Namentlich S. 31 bis 42. Leipzig: Akad. Verlagsges. 1928.
Bei dieser Gelegenheit sei daran erinnert, daß die einzelnen Summanden in der Gl. (X 4.07) und deshalb auch die Austrittsarbeit Ψ selbst keineswegs ohne weiteres als temperaturunabhängig angesehen werden dürfen. Solange der T-Gang von Ψ nicht völlig bekannt ist, besagt (X 4.06) über die Temperaturabhängigkeit des Sättigungsstromes noch nichts Endgültiges. Siehe hierzu auch W. Schottky u. H. Rothe: Physik der Glühelektroden. Bd. XIII, Tl. 2 des Handbuches der Experimentalphysik von Wien u. Harms, namentlich Kap. 6.
Die Bedingung ω > ωmin begrenzt das photoelektrisch wirksame Spektrum zu tiefen Frequenzen hin, also zu langen Wellen, also zum roten Licht.
Dies kann entweder durch die beiderseitige Elektronenemission in das Vakuum erfolgen und erfordert dann relativ lange Zeit. Man kann aber auch daran denken, daß das Metall und der Halbleiter ringförmig gebogen sind. An den betrachteten Oberflächenpartien sind sie weit voneinander entfernt. An anderer Stelle stehen sie dagegen mit anderen Teilen ihrer Oberfläche in direktem Kontakt. Dadurch wird dann die Einstellung des Gleichgewichts schnell herbeigeführt.
Bei einem sehr störstellenreichen Halbleiter kann Entartung eintreten. Das Fermi-Niveau liegt dann im unteren Teil des Leitungsbandes und ist also mit Elek — tronen besetzt. In einem anderen Sonderfall, nämlich beim Übergang von Erschöpfung zu Reserve fällt das Fermi-Niveau mit dem Störstellenniveau zusammen. Auch dann befinden sich Elektronen gerade auf dem Niveau der Fermi-Kante. In beiden Fällen gibt es aber noch Elektronen mit höherer Energie und deshalb erscheint auch in diesen Sonderfällen die vom Fermi-Niveau aus rechnende glüh — elektrische Austrittsarbeit ΨHbl nicht als die photoelektrische Aktivierungsenergie mit der Beziehung zu einer langwelligen Grenze.
Siehe aber weiter unten die Ausführungen über die „Oberflächenzustände“.
Dies gilt namentlich bei einem sehr störstellenreichen Halbleiter, bei dem schon geringe Potentialanhebungen und die damit verbundenen geringen Abweichungen von der Neutralität starke Raumladungen freisetzen.
Siele z. B. S. Poganski: Z. Phys. Bd. 134 (1953) S. 469, insbes. Fig. 3.
In den Publikationen Schottkys werden diese Dinge verhältnismäßig knapp behandelt. Der Verfasser ist hier in der glücklichen Lage, auf unvollendete und deshalb unveröffentlichte Manuskripte von Herrn Schottky zurückgreifen zu können.
Der Index R deutet auf den Halbleiterrand hin.
Der Index H weist auf den Halbleiterwert hin.
Siehe z. B. Handbuch der Experimentalphysik von Wien u. Harms. Bd. XIII Ti. 2. Beitrag: Physik der Glühelektroden von W. Schottky u. H. Rothe. Kap. III, insbes. Gl. (5), S. 18.
Siehe Léon Brillouin: Die Quantenstatistik. Berlin: Springer 1931. Gl. (32a) auf S. 141 in Verbindung mit Gl. (28) auf S. 139. Mit einer falschen Argumentation dürfte leider ein sehr einfacher und eleganter Beweis arbeiten bei H. Fröhlich: Elektronentheorie der Metalle. S. 64. Berlin: Springer 1936, bzw. bei A. Sommerfeld in Geiger/Scheel, Bd. XXIV, Tl. 2, S. 342. Die dortige Schlußweise läßt sich aber mit elementaren mathematischen Hilfsmitteln in Ordnung bringen.
Hier sei die Erinnerung gestattet, daß eben wegen der Existenz der Volta — Spannungen und der von ihnen aufgespannten Vakuumfelder bei elektrostatischer Messung einer Klemmenspannung die Vorschrift zu beobachten ist, daß die beiden Pole oder Schneiden oder Platten des elektrostatischen Instrumentes aus demselben Material bestehen müssen. Bei galvanometrischer Messung der Klemmenspannung ist diese Kautele natürlich überflüssig.
Poganski, S.: Z. Phys. Bd. 134 (1953) S. 469.
Hoffmann, A., u. F. Rose: Z. Phys. Bd. 136 (1953) S. 152.
Thedieck, R.: Phys. Verh. Bd. 3 (1952) S. 31;
Thedieck, R.: Phys. Verh. Bd. 3 (1952) S. 212;
Thedieck, R.: Z. angew. Phys. Bd. 5 (1953) S. 165.
Valdes, L. B.: Proc. Inst. Radio Engrs., N. Y. Bd. 40 (1952) S. 445.
Schweickert, H.: Verh. dtsch. phys. Ges. Bd. 3 (1939) S. 99. Die Schweikkertschen Ergebnisse sind auch wiedergegeben bei W. Schottky: Z. techn. Phys. Bd. 21 (1940) S. 322.
H. Schweickert trägt in diesem Diagramm die maximalen Sperrwiderstände der betreffenden Halbleitermetallkontakte auf. Der maximale Sperrwiderstand ist aber im Rahmen der Randschichttheorie nicht zu erfassen. Deshalb verwenden wir den differentiellen Widerstand bei der Vorspannung Null, den sogenannten Nullwiderstand, um die nach der Randschichttheorie zu erwartenden Zusammenhänge aufzuzeigen.
Unveröffentlichte Arbeiten von Brattain u. Shive in den Bell Telephone Laboratories 1940, siehe J. Bardeen: Phys. Rev. Bd. 71 (1947) S. 2.
Joffé, A. V.: J. Phys. USSR Bd. 10 (1946) S. 49.
Meyerhof, W. E.: Phys. Rev. Bd. 71 (1947) S. 727.
Benzer, S.: J. appl. Physics Bd. 20 (1949) S. 804.
Poganski, S.: Z. Phys. Bd. 134 (1953) S. 469.
Bei der wirklichen Durchführung solcher Messungen werden zylindrische oder kugelsymmetrische Anordnungen wegen der geringeren Randstörungen bevorzugt.
Ein Teil von E kin kann ja auf transversalen Geschwindigkeitskomponenten beruhen, die für die Überwindung des elektrostatischen Potentialunterschiedes wertlos sind.
Apker, L., E. Taft u. J. Dickey: Phys. Rev. Bd. 73 (1948) S. 46;
Apker, L., E. Taft u. J. Dickey: Phys. Rev. Bd. 74 (1948) S. 1462;
Apker, L., E. Taft u. J. Dickey: Phys. Rev. Bd. 76 (1949) S. 270.
Taft, E., u. L. Apker: Phys. Rev. Bd. 75 (1949) S. 344.
Siehe auch J. A. Becker: Electr. Engng. Bd. 68 (1949) S. 937.
Er tf sichergibt sich sofor aus (X 8.05) mit (math).
Siehe z. B. S. Sano: Electr. J. Tokyo Bd. 5 (1941) S. 75 und
IH. Benda: Frequenz Bd. 7 (1953) S. 226–232.
Es ist dies das ursprüngliche Verfahren von A. Volta: Ann. Chim. Physique Bd. 40 (1801) S. 225.
Meyerhof, Walter E.: Phys. Rev. Bd. 71 (1947) S. 727.
Brattain, W. H., u. W. Shockley: Phys. Rev. Bd. 72 (1947) S. 345.
Bardeen, J.: Phys. Rev. Bd. 71 (1947) S. 717.
Tamm, I.: Phys. Z. Sowjet. Bd. 1 (1932) S. 733.
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Pollard, W. G.: Phys. Rev. Bd. 56 (1939) S. 324.
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Artmann, K.: Z. Phys. Bd. 131 (1952) S. 244.
Siehe hierzu auch W. H. Brattain u. J. Bardeen: Bell Syst. techn. J. Bd. 32 (1953) S. 1.
Bezüglich der Begründung dieser Definitionsgleichung siehe Kleindruck von S. 344 ff. Da sehr bald auch ein elektrochemisches Potential der Defektelektronen eingeführt werden wird, bezeichnen wir jetzt das elektrochemische Potential der negativen Elektronen mit (math). Im übrigen wird zur Auswertung von (X 9.01) neben der Konzentration n (x) auch noch der Potentialverlauf V (x) gebraucht. Siehe hierzu E. Spenke: Z. Phys. Bd. 126 (1949) S. 67.
Das Defektelektron gibt bei diesem Prozeß Energie ab, das Gitter (z. B.) nimmt diese Energie auf.
Siehe z. B. W. Weizel: Lehrbuch der theoretischen Physik. Bd. II. S. 1416 u. 1417. Berlin/Göttingen/Heidelberg: Springer 1950.
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Spenke, E. (1955). Randschichten in Halbleitern und der Kontakt Halbleiter-Metall. In: Elektronische Halbleiter. Springer, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-662-01338-0_10
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